La generatrice Ai Aa, della superficie ®, conterrà poi 2 (u—2) cuspidi della 
curva 2 e sarà una generatrice di regresso per la superficie stessa, la quale ne pre- 
senterà un numero e eguale a quello di ciascuna delle curve 21, l2, /, 2" ed analoghe. 
11. Poichè la curva doppia x è dell’ordine 3; pu (2—1) (7), così essa ha 
6u (u—1) punti comuni con la superficie X. Ora, 4u (u—1) di questi punti tro- 
vansi sopra le 2u geyeratrici comuni a Y e ® (8); 2y giacciono nei punti cuspidali 
di ® (9); 40 sulle generatrici doppie e 6: sulle generatrici di regresso della super- 
ficie ® (10). Eguagliando tra di loro le due differenti espressioni del numero di 
punti anzidetti, si ottiene una relazione fra le quantità 1, v, 0, e, che sì riferiscono 
alla direttrice /" della superficie ®, la qual relazione non deve differire da quella 
che venne data da Pliicker. Si ha infatti: 
Ap. (1—1)+2v+40+ 6e=6p (u1). 
ossia 
v=n (1-1) —20—8e 
il che è una verifica delle precedenti conclusioni. 
12. La sviluppabile £ separa lo spazio in due campi che si distinguono tra di 
loro per ciò che per i punti del primo campo passano tre piani tangenti reali di ©, 
mentre per i punti del secondo campo non passa che un solo piano tangente reale 
di tale superficie. 
Corrispondentemente, la curva doppia #, della superficie ®, è divisa in due 
regioni: l’una giace nel primo campo dello spazio e nei punti di essa si tagliano 
coppie di generatrici reali di ®; l’altra è situata nel secondo campo dello spazio 
e nei punti di essa s’ incrociano coppie di generatrici imaginarie della superficie ®. 
Passando da una regione all’altra, della curva , s’' incontrano i punti cuspidali 
di ®,i quali, come risulta dalle cose dette (9), giacciono sopra la sviluppabile Y. 
Sulla curva 2, pertanto, vi possono essere altri punti che godono di una pro- 
prietà affatto analoga a quella dei punti cuspidali e sono i punti nei quali la curva 
stessa ha un contatto tripunto con la superficie £ e che, come già si vide (10), 
trovansi a due a due accoppiati sulle generatrici di regresso di ©. 
È notevole il caso che si presenta quando le due direttrici / ed 7 della su- 
perficie ® (7) sono situate rispettivamente all’interno delle coniche c' e e, sezioni di Y 
coi piani delle curve anzidette. In allora è manifesto che ogni generatrice di ® è 
l’intersezione di due piani tangenti imaginarî della superficie Y e la curva y, di 
contatto delle due superficie, è imaginaria. La curva doppia x non può giacere sopra 
falde reali di ®, perchè se ciò avvenisse, in un punto di tale curva si taglierebbero 
due generatrici reali di ®, le quali dovrebbero essere necessariamente le intersezioni 
di piani tangenti reali di x. Dunque la curva « è isolata. Un tal caso peraltro non 
x 
può verificarsi se l’ordine delle curve l", 2" è dispari ('). 
(‘) Ciò significa, in sostanza, che non è possibile di descrivere una curva di ordine dispari la 
quale giaccia tutta quanta nell’interno di una conica. Ura la cosa è evidente quando la conica data 
è un’ellisse; ma poichè con una trasformazione omografica ogni caso si può ridurre a questo, così la 
proprietà di cui si tratta è vera in generale. 
