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infinitamente vicine tra di loro e coincidono in una retta p passante per quel punto (7). 
Il piano 7 tocca ® in tutti i punti di p, vale a dire, questa retta è un elemento 
sviluppabile di tale superficie ed il piano x è osculatore alla curva y (8) nel punto K 
di contatto di p con la conica c comune a 7 e a X. Ora è evidente che tante sono 
le tangenti comuni alla curva ! ed alla conica c, altrettanti sono gli elementi svi- 
luppabili di ®. Perciò se v dinota la classe di l, il numero totale di questi ele- 
menti sviluppabili è 2y. 
Il punto K sopraddetto essendo comune a due generatrici (successive) di ©, 
appartiene alla curva doppia #, di questa superficie. Di qui risulta che le curve 
x ed y si tagliano nei 2y punti cuspidali della superficie D. 
10. Suppongo ora che le curve 2", 2" della superficie ®, situate rispettivamente 
nei piani 7° e 7° (7), abbiano ciascuna è punti doppî. In tal caso la superficie ® 
ammetterà altrettante generatrici doppie le quali saranno le rette del sistema (p), 
passanti per i punti doppî anzidetti e non contenute nè in 7 nè in 7°. 
Se p è una di queste generatrici doppie, essa toccherà la superficie x in due 
punti A,, A» (3) ed i piani 71, 7a, tangenti di S che si tagliano secondo p, interse- 
cheranno ® secondo due curve omografiche /,, la, che ammetteranno un punto doppio 
l’una in A e l’altra in As. Perciò le due falde della superficie ® avranno in Ax 
il piano tangente comune 71, edin A» il piano tangente comune ta. È pertanto evi- 
dente che A, ed A» sono anche punti doppî della curva y di contatto di ® con SY 
e che in entrambi quei punti sono riuniti due punti della curva doppia 2 (7). Dunque, 
questa curva tocca la superficie Y in d coppie di punti situati sulle 
generatrici doppie della superficie ©. 
Inoltre è pure manifesto che le y—2 generatrici distinte di ® che, oltre p, 
sono situate in ciascuno dei piani 71 e 7a, intersecano la stessa p in 2 (u—2) punti 
che sono doppî per la curva . 
Le precedenti considerazioni si estendono facilmente al caso in cui Ax ed A» siano 
punti multipli per le curve 7, ed /,. In allora i piani 71 e 7a sono r volte tangenti, 
in Ax ed As rispettivamente alla superficie ®, le falde della quale si toccano a due 
a due in quei punti e quindi per ciascuno di essi passano > r(r—1) rami della 
curva x ed r rami della curva y. 
Se A, ed A», invece di essere punti doppî ordinarî per le curve /, ed 7, come 
vennero supposti dapprima, sono punti nei quali si toccano due rami, nel primo della 
curva /, e nel secondo della curva /,, è evidente che il ragionamento fatto più sopra 
per la generatrice p, della superficie ®, si può identicamente ripetere anche per la 
generatrice successiva. Ciò porta naturalmente a concludere che in tal caso sia in Ax 
che in A» la curva y presenta due rami che si toccano fra di loro e la curva & 
taglia ivi la superficie £ in quattro punti fra loro infinitamente vicini, due collo- 
cati sopra ogni ramo di y; che perciò le curve 2 ed y hanno le tangenti comuni 
nei punti A, ed Ap. 
Infine, se A, ed A» sono cuspidi per le curve /, ed % la curva y avrà pure 
una cuspide in ciascuno di quei punti e la curva e toccherà i due rami di 
tale cuspide e quindi avrà un contatto tripunto colla superficie £. 
