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successiva alla generatrice 9g in cui trovasi A', indicando con M' ed N i due punti 
nei quali i due piani tangenti fissi sopraddetti tagliano 9‘, e con S' il punto comune 
a g e g1, è evidente che i due gruppi armonici S'A'MN', S'A",M',N', (4) sono 
prospettivi, perchè hanno il punto unito S', per cui la retta A'A', deve passare per 
il punto comune alle M'M',, N'N',. Da ciò segue che la tangente della cubica 
nel punto A' e la direttrice dell’iperboloide che tocca la superfi- 
cie X lungo quella cubica sono rette reciproche rispetto alla co- 
nica di X che trovasi nel piano tangente nel punto A'. 
Questa proprietà insegna a costruire quella cubica gobba di Y che passa per 
un punto dato ed ha ivi una tangente data. 
6. Se O è il centro di un fascio di rette, dato in un piano tangente della super- 
ficie X, poichè ciascun raggio di .esso, considerato come direttrice, individua un’iper- 
boloide tangente a £ (4), così si può dire che quel fascio medesimo individua infi- 
nite cubiche gobbe di Y. Tutte queste cubiche passano per gli stessi due punti 
X' ed X" i quali sono i punti di contatto della superficie anzidetta con quella retta 
del sistema (p) (passante per 0) che è la generatrice comune a tutti gli iperboloidi 
menzionati. Il fascio delle direttrici, di tali iperboloidi, essendo proiettivo al fascio 
delle direttrici, degli iperboloidi stessi, avente il centro in X" (3), in virtù di ciò 
che è detto al n. 5, saranno anche proiettivi i fasci delle tangenti, alle cubiche di 
cui è parola, nei punti X' ed X". i 
Pertanto, dalle precedenti considerazioni emerge che: 
Per due punti di una superficie di quarto ordine e terza classe 
passano infinite cubiche gobbe, della superficie stessa, o ne passa 
una sola (5), secondochè la congiungente quei punti è o non è una 
retta bitagente della superficie (retta del sistema (p)). 
7. Nei due piani omografici 7° e 7", tangenti alla sviluppabile £ (2), siano 
l ed l" due linee (direttrici) corrispondenti dell’ordine u e si consideri la superficie 
gobba ® luogo delle rette del sistema (p) congiungenti i punti corrispondenti di 
quelle linee. Le generatrici di tale superficie, le quali incontrano una retta data 
comunque, si possono determinare con un processo geometrico affatto identico a quello 
usato al n. 2 trattandosi di una costruzione analoga per la superficie X. Da ciò si 
rende evidente che la superficie ® è del grado 2p (‘). 
Un. piano 7, tangente alla superficie x, taglierà 7° e 7 secondo due rette cor- 
rispondenti w, «” e le congiungenti i punti comuni ad w' ed Y coi loro corrispon- 
denti, comuni ad v' ed /", saranno tante generatrici di ®. Quindi nel piano 7 sono 
contenute 1. di queste generatrici e la superficie £ è una sviluppabile p-tangente 
alla superficie ®. Il piano anzidetto sega dunque questa superficie secondo una 
curva l d’ordine wu la quale, in virtù del teorema del n. 3, è omografica tanto ad 
lU che ad l". Segue da ciò che tutte le sezioni della superficie ®, con 
piani tangenti di x, sono curve tra loro omografiche. i 
I pa punti nei quali le generatrici della superficie ® contenute in x tagliano 
la generatrice di Y, situata in tal piano, costituiscono altrettanti punti di contatto 
(4) Cremona, Preliminari ad una teoria geometrica delle superficie, pag. 43. 
