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Se il piano P' della conica s' appartiene ad uno degli spigoli del tetraedro 8, 
la conica si riduce ai due vertici di 9 che appartengono a quello spigolo; finalmente 
se P' è una delle facce di 9 la conica s' è indeterminata. 
Per uno qualunque dei vertici del tetraedro 9 la dipendenza tra il piano P', e 
la retta r°, appartenente ad esso, è tale che se la retta r° appartiene ad un piano Pi, 
il piano corrispondente P' apparterrà ad un cono, al quale appartengono le facce per 
quel vertice di 0, ed il piano P,; il lato di contatto di questo cono con Pi è la retta 
7, che corrisponde a Pi. Le equazioni di questi coni, per i diversi vertici del te- 
traedro 9, saranno 
(u—v) Bi (D+ (w—v) C1BD + (v—w) DjBC=0, 
((—-w) CAD + (u—v) AjCD + (w—-u)DiCA = 0, 
(w—u) ABD + (v—w) BAD + (u—v) DIAB=0, 
(o—w) A1BC + (w—u) Bi CA + (u—v) CAB = 0. 
(7) 
Se invece il. piano P' appartiene ad una retta 71; la retta corrispondente vr ap- 
parterrà ad un cono, al quale appartengono gli spigoli di 9 per quel vertice, e la 
retta 71; il piano tangente di questo cono secondo r, è il piano Pj che corrisponde 
ad rj: indicando con (F1, . .. Ly. . .) le coordinate della retta r1, le equazioni 
di questi coni per i diversi vertici del tetraedro ? saranno 
V(u—v) NB + V(w—u)M, C+ V(o—wFD=0, 
Vi=wl0 + Vu=yNni + Vu=u)C EDO. 
V(u—uMA + V(1—w)LB + V(u—v HD =0, 
VO—-w FA + Viu GB+V(—v)H C=0. 
(8) 
Cerchiamo ora tra le coniche s' del complesso o quelle che toccano un piano Pi; 
l’inviluppo dei loro piani P' sarà la conica rappresentata dall’equazione 
(9) O—- v) (Bi CAD+ A; D, BC) Se (W_- v) (Ci ABD > BiDi CA) 
= (u— 0) (A,1B:CD + C;DjAB)=0, 
o sia sarà la conica si del complesso corrispondente al piano Pi. 
Osservando che l’equazione (9) non può essere soddisfatta qualunque sia il piano 
(A, B, C, D), se non quando «=v=%, il che rende illusoria l’equazione (4) del 
complesso o, ne segue che tutte le coniche s, le quali, avendo per loro piani i diversi 
piani P' dello spazio, sono assoggettate a tuccare cinque piani dati (le quattro facce 
del tetraedro 9 ed un piano P;) non potranno appartenere ad un solo complesso di 
2° grado; esse però potranno intendersi distribuite fra infiniti complessi tetraedrali o, 
relativi al tetraedro 0, e rappresentati dall’equazione (4) variando w, v, w, ciascuno 
di questi complessi o essendo determinato da uno qualunque dei tre rapporti anar- 
monici (5): in questi complessi o le coniche s' corrispondenti ad un piano P' hanno 
per tangenti comuni le quattro rette che P' determina con le facce del tetraedro 0. 
Diremo che i complessi g formano un fascio. Ad un complesso o del fascio, pel quale 
i rapporti anarmonici fondamentali sono 1, 0, 00, corrisponde una conica s', ridotta 
alla coppia dei punti determinati da P' e da due spigoli opposti del tetraedro 0. 
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