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Sui Complessi di secondo grado. 
Nota del Socio GIUSEPPE BATTAGLINI 
letta nella seduta del 1 dicembre 1878. 
Un complesso di linee rette è definito analiticamente da un’equazione fra le 
coordinate della retta, considerata come luogo di punti, o come inviluppo di piani; 
il grado di questa equazione è l’ordine del cono luogo di tutte le rette del com- 
plesso che passano per un punto arbitrario, e la classe della curva inviluppo di tutte 
le rette del complesso situate in un piano arbitrario. Se però viceversa si ha un si- 
stema di linee rette tale che per ogni punto dello spazio sia definito completamente 
un cono d’ordine n, luogo delle rette del sistema che passano per quel punto, 0, ciò 
che vale lo stesso, per ogni piano dello spazio sia definita completarhente una curva 
della classe n, inviluppo delle rette del sistema situate in quel piano, tutte le rette 
del sistema non apparterranno in generale ad un solo complesso di grado n, ma quei 
luoghi di rette d’ordine n, e quegl'inviluppi di rette di classe n, si potranno in- 
tendere distribuiti fra più complessi di grado n. La rappresentazione analitica più 
generale del sistema proposto sarà data da un’ equazione che contenga, oltre delle 
coordinate della retta, le coordinate del punto o del piano, la quale potrebbe dirsi 
equazione di un connesso di punti e di rette, o di piani e di rette, estendendo il 
concetto di connesso, introdotto da Clebsch nella Geometria analitica: in un tale con- 
nesso ad ogni punto, o ad ogni piano, dello spazio corrisponde un complesso di rette, 
ed i coni o le curve di questi complessi che corrispondono a quei punti, o a quei 
piani, dello spazio, saranno i luoghi e gl’inviluppi di rette appartenenti al sistema 
proposto. — Un esempio molto semplice di un simile sistema di rette, suggeritomi 
dal ch. collega il prof. Valentino Cerruti, si ha nella considerazione dei coni di 2° or- 
dine che passano per cinque punti dati, o delle linee di 2* classe che toccano cinque 
piani dati: la discussione di questo sistema di rette forma l’oggetto di questa breve Nota. 
1. Essendo (a, d, c, d) le coordinate di un punto p rispetto ad un tetraedro 
fondamentale ©, consideriamo una superficie di 2° ordine circoscritta al tetraedro 
medesimo, e rappresentata perciò da un’ equazione della forma 
(1) Fbe + Gea + Hab + Lad + Mbd + Ned == 0. 
Se la superficie (1) si riduce ad un cono S' di vertice p'(a', 0’, c', d'), si avranno 
le condizioni Hb + Ge + Ld' =0, 
Ha' +Fc+- Md =0, 
(2) Ga' + FV' + Nd =0, 
La' + Mb + Nc' =0, 
