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Nota concernente la teoria delle soluzioni singolari 
delle equazioni algebrico-diffsrenziali di primo ordine e secondo grado 
del Socio F. GASORATI 
letta nella seduta del 4 maggio 1879. 
Le proprietà euunciate nella Comunicazione fatta a quest’ Accademia il 5 marzo 
1876, circa le soluzioni singolari delle equazioni differenziali, si possono dimostrare, 
fra l’altre, nella maniera che segue. 
Si riterrà presente la Nota inserta nel tomo VII dezli Annali di matematica 
(Milano, 1876) sotto il titolo Alcune formole fondamentali ecc. 
Teorema 1.° Ogni fattore (intendasi sempre primo), che entra 
in g una sola volta, dà una primitiva della 
a(u,v)du+ 28 (u,v)dudv + y(u,v)dv= 0. (1) 
Infatti, annullandosi con esso fattore il 9 ed il dg, riesce zero il secondo e però 
anche il primo membro della identità 
G(2dut + 2Bdudv+ydv)= (dg) — 4g[da.de—- db)? |. (2) 
Ma 2 non è divisibile pei fattori semplici di 9 (Nota citata, N. 3.), dunque dovrà 
riuscir zero il primo membro della (1). 
Teorema 2.° Tra i fattori semplici in g, quelli che sono multi- 
pli ins danno primitive particolari della (1); e reciprocamente, 
quelli che danno primitive particolari sono multipli in s. 
Sia q un fattore semplice in 9g e multiplo in gs. Se q dividesse una delle fun- 
zioni a, c, dividerebbe anche 6 e non potrebbe quindi dividere l’altra, dovendo le 
funzioni a, d, c essere prime tra loro. Suppongasi @ ron divisibile per qg. Dalla for- 
mola (0) della Nota ) 
ak=il = = 
b) 
sì ottiene, qualunque sia 4, 
da d db) Ò 
ob=| E 2, SAL. i) 
