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Con gq si annulla & (Nota, n.3); epperò, determinando 4 in modo che sia 
b+ayp=gqg, 
avremo, insieme con qg=0, la eguaglianza 
a (0) 0 
da db da, dg 
— = LL =—_— 
du dU du! du 
da db da, dg 
dv dv srt dv | 
0E= 
ossia 
du du' du 5 X 
dò da, dg Pa? (4) 
— — — 
dv dv' 3Vv 
la quale, ponendo mente alle 
sr 5 4) du -( s3 Y)do+ady=0, 
sa du + un do=0, 
mostra essere 
dpy=0 
cioè w costante, sotto la condizione g = 0. Sia wo questo valor costante di 4; la 
funzione razionale d — 4 sarà nulla con g, cioè eguale a gP, significando P fun- 
zione razionale di «,v, che resta finita all’annullarsi di g. Sarà quindi d + @y== 
q(1—aP); e la funzione intera d + ay, dovendosi annullare con g, sarà divisibile 
per qg. Dunque, per il valore particolare wo di Q, la primitiva generale 
a(aQ* + 2b0+c) = (aQ+b)?+g9=0 
diventa una particolare contenente la q= 0. 
Per dimostrare la proposizione reciproca, supponiamo che, per un valor costante 
di $, riesca (ad+b)? +9, e però anche agd+d, divisibile per un fattore sem- 
plice di g, che non entra in a. Annullandosi un tale fattore ed il suo differenziale, 
si annullano ad + d, g ed i differenziali loro. E siccome dalle eguaglianze 
(304-3 Ha 
dg da 
segue essere nullo il determinante (4), così anche il (3) sarà nullo, e però nullo &. 
Dunque, per la 49k* = 0g, il fattore in discorso dovrà entrare più volte in s; giac- 
chè non può entrare in 0. 
Dai teoremi 1° e 2° segue il | 
Teorema 3.° I fattori semplici di g, che non sono multipli in 
s, danno primitive singolari della (1). 
