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Questi fattori sono poi, nel presente caso delle equazioni differenziali del secondo 
grado, i soli che diano soluzioni singolari, in quanto che ha luogo il 
Teorema 4. Un fattore multiplo in g non dà, in generale, una 
soluzione della (1); e quando la dà, essa è particolare. 
Pongasi 
OUT AL 
nella (2), e si avrà 
o(4 dut + 2£dudv + 700 ) = lane [cn dt tan] | da.de— (40) | Ì (9) 
Per t=0 e dét==0 questo secondo membro, diviso per #", non riesce zero se non 
quando risulti 
da.de—(db)}= 0. (6) 
E però, t=0 si potrà dire soluzione della 
0(adut + 2Bdudv + ydv)=0, 
ma impropria, non essendo soluzione della (1) se non quando sia soddisfatta la 
condizione (6). Ora, da questa condizione, scritta come segue (‘) 
da do (4) 
@G°@ XI 
e dalla dg = cda + ade — 2bdb= 0, pure scritta come segue 
da de db 
—+ —=2.,, 
c b 
si deduce 
da _dc _db 
Toga di coni aa 
e quindi, sempre con t=0, 
@ _—_ @ __ d 
do 0 do” 
significando ao, do, co tre costanti che soddisfanno la arco —b%=0. Le funzioni 
intere 
a d c db 
do do” o 
annullandosi con #, saranno divisibili per £, e ponendo 
0) db c b 
——--—-=a=Mt, —— -=Nt, 
01) Do Co Do 
sì avrà 
ad + 200 + ent (100° + 200Q+ co) + t (ag Q*M + coN). 
0 
(1) La divisione per ac= b? è lecita, potendosi qui supporre che f non entri in veruna delle 
funzioni @, db, c; in quanto che, se entrasse in una, entrerebbe in due e però in a od in e; ed allora 
{= 0 sarebbe contenuta nella primitiva particolare corrispondente ad Q= 0 od 9 = 
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