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Le trasformazioni piane doppie. 
Memoria del dott. RICCARDO DE PAOLIS, 
presentata dal Socio L. CREMONA 
nella seduta dell’ 8 aprile 1877. 
I. Trasformazioni d’ordine n_e di genere p. 
Se ad un punto d’una superficie si fa corrispondere un punto d’un piano, ma 
viceversa ad un punto del piano si fanno corrispondere due punti della superficie, 
abbiamo la così detta rappresentazione sul piano doppio('). Quando, se 
è possibile, vogliamo passare da questa rappresentazione a quella univoca della su- 
perticie sul piano, sorge il problema di riportare il piano doppio sopra un nuovo 
piano semplice, problema che Clehsch ha fatto dipendere dalla ricerca di certe 
curve, che hanno contatti colla curva limite segnata nel piano doppio, e questa 
ricerca alla sua volta da un problema di bissezione delle funzioni abeliane relative 
alla curva limite. L'esempio trattato da Clebsch con più profondità riguarda la 
rappresentazione del piano doppio con curva limite del quarto ordine. 
« Con questi lavori Clebsch ha aperto una nuova ed ampia via, accessibile 
« all'analisi del pari che alla geometria pura; ma nella quale non vennero fatti, po- 
< steriormente, che pochissimi passi (*) ». 
Mi propongo in ciò che segue di risolvere in tutta la sua generalità il pro- 
blema di riportare il piano doppio sopra un altro piano semplice, servendomi di con- 
siderazioni puramente geometriche e senza uscire dai due piani. Considerando la que- 
stione sotto questo punto di vista, indipendentemente dalla rappresentazione delle su- 
perficie, si tratta di stabilire la teoria di certe trasformazioni tra due piani, le quali 
si presentano immediatamente dopo le trasformazioni razionali di Cremona (°). 
S fl. Generalità — Curva doppia, curva limite. 
Sîìngolarità delle curve corrispondenti alle curve del piano semplice. 
1. Siano dati due piani P, P'; ad un punto p di P corrispondano due punti p', p' 
di P', mentre al punto p' 0 p' corrisponda il punto p; di più quando p percorre 
una retta, p', p' descrivano una curva d’ordine n. 
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(5) Clebsch, Veber den Zusanmenhang einer Classe von PFlachenabbildungen...... Math. Ann. t. 3. 
(2) Alfredo Clebsch e î suoi lavori scientifici (dal t. 7 dei Math. Ann.)trad. di Beltrami: Annali 
‘di Matematica, serie 2, t. 6. 
(8) Sulle trasformazioni geometriche delle figure piane: Memorie dell’ Accad. di Bologna, se 
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CLASSE DI SCIENZE FISICHE ece. — MEMORIE — Von. I.° 65 
