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Potendo immaginare il piano £' trasformato razionalmente in altri due Pi, P, 
che sovrapposti al piano P fanno corrispondere ad un suo punto p due punti pP', PD, 
distingueremo Pcol nome di piano doppio, P'colnome di piano semplice('), 
e la corrispondenza tra i due piani col nome di trasformazione doppia. 
È evidente che dal punto p' viene determinato p' e viceversa; esiste dunque 
in P' una trasformazione razionale involutoria che fa corrispondere i punti p', p'. 
Considereremo come congiunti due punti (p', p'), e come congiunte due curve 
(C', ©), che sono corrispondenti in questa trasformazione congiunta alla 
trasformazione doppia. Dopo ciò possiamo senz’altro enunciare: 
I. Ad una curva del piano semplice ed alla sua congiunta 
corrisponde una sola curva del piano doppio. 
II. Ad una curva del piano doppio, o corrisponde nel piano 
semplice una curva congiunta a sè stessa, 0 corrispondono due 
curve congiunte. 
III. Due curve congiunte e la curva corrispondente nel piano 
doppio sono dello stesso genere. 
IV. Sono iperellittiche le curve congiunte a sè stesse e cor- 
rispondenti alle curve razionali del piano doppio. 
2. In generale in P' avremo un sistema continuo Q' di punti o' ciascuno infini- 
tamente vicino al punto congiunto ©'. Un punto o della curva Q corrispondente alla 
Q' avrà per corrispondenti due punti o’, o' consecutivi, quindi potremo immaginarlo 
come appartenente consecutivamente ai piani P, P,, 0 ciò che è lo stesso alle 
due faccie di P. Il luogo Q è dunque, in un certo senso, una curva limite tra 
i punti d’una faccia e quelli dell’altra, è una curva luogo dei punti di transizione(?) 
tra le faccie di P. A ciascun punto o della Q corrispondono due punti o’, ©' in- 
finitamente vicini, però la retta o' ©' non inviluppa la Q' corrispondente alla Q, 
ossia 0, ' descrivono due curve infinitamente vicine in tutti i loro punti. Le con- 
sidereremo complessivamente come una curva doppia Q' corrispondente alla curva 
limite O. 
Possiamo chiamare direzione principale, in un punto o, la direzione della 
retta principale d o. 
I.La curva limiteela curva doppia sono dello stesso genere. 
Oltre al sistema continuo dei punti della Q' possiamo avere un sistema discreto 
di punti &' congiunti a sè stessi. I punti e’ sono come curve doppie infinitamente 
piccole; ogni retta. che passa per uno di essi contiene due punti congiunti conse- 
cutivi posti in e. Questi punti discreti li chiameremo i punti doppî del piano 
‘semplice. 
Come poi dimostreremo, ad un punto &' o corrisponde in P una curva limite @ 
distinta da Q, o corrisponde un punto limite . 
(4) Clebsch, 1. c. 
(2) Uebergangscurve; considerata da Clebsch (I. c.) come luogo dei punti del piano rap- 
presentativo doppio ai quali corrisponde un solo punto della superficie rappresentata. 
