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In ciò che segue prima supporremo che in P' non vi sia un sistema discdireto 
punti doppî, e poi considereremo separatamente il caso in cui vi siano questi punti, 
e l’influenza da loro esercitata ('). 
3. Se una curva C' passa con r rami per un punto p' e con s per il punto con- 
giunto p', la curva congiunta ©' passa con s rami per p' e con r per pi; dunque 
il numero dei passaggi (r + s) del luogo complessivo € € per un punto è uguale 
al numero dei passaggi pel punto congiunto, e: 
I. Se una curva non congiunta a sè stessa passa con » rami 
per un punto e con s per il punto congiunto, la curva corrispon- 
dente ha un punto (r+ s)-plo nel punto corrispondente. 
Come pure: 
II. Se una curva congiunta a sè stessa passa con r rami per 
un punto , deve passare con 7 rami per il punto congiunto, e la 
curva corrispondente ha un punto r-plo nel punto corrispondente. 
Un caso particolare del teorema I è l’altro: 
III. Se due curve congiunte s’incontrano in 20 punti, non 
congiunti a sè stessi, questi formano è coppie di punti congiunti, 
e la curva corrispondente ha un nodo in ciascuno dei è punti 
corrispondenti. 
La curva doppia O’ è formata da due curve infinitamente vicine in ogni loro 
punto; quindi se una curva €’ non congiunta a sè stessa incontra la Q' in c punti, 
con direzione non principale, in ciascuno di questi vi sono due punti d’intersezione 
infinitamente vicini, non congiunti, col luogo corrispondente alla curva limite; da ciò: 
IV. Se una curva non congiunta a sè stessa incontra la 
curva doppia in c punti, con direzione non principale, la curva 
corrispondente tocca la curva limite nei o punti corrispondenti. 
Mentre dovendo una curva congiunta a sè stessa tagliare la curva doppia con dire- 
zione principale: 
V. Se una curva congiunta a sè stessa incontra la curva 
doppia in o punti, la curva corrispondente incontra semplicemente 
la curva limite nei c punti corrispondenti. 
Analogamente possiamo dedurre i teoremi seguenti : 
VI. Se una curva non congiunta a sè stessa ha un contatto 
r-punto colla curva doppia, la curva corrispondente ha un contatto 
2r-punto colla curva limite nel punto corrispondente. 
VII. Se una curva non congiunta a sè stessa taglia la curva 
doppia in c punti con direzione principale, la curva corrispon- 
dente ha c cuspidi nei o punti corrispondenti. 
VIII. Se una curva non congiunta a sè stessa ha un punto 
r-plo sulla curva doppia, la curva corrispondente tocca con r rami 
la curva limite nel punto corrispondente. 
(1) Vedi il 8 6. 
