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$ 3. Serie delle curve corrispondenti alle rette del piano semplice. 
6. Una retta del piano semplice incontra una qualunque curva D' in n punti, quindi: 
I. Alle rette del piano semplice corrisponde una serie dop- 
piamente infinita di curve ® razionali d’ordine n. 
Per due. punti arbitrarî pi, pa passano quattro curve ® che corrispondono alle 
rette p'1 pa, Pi pa, Pi1P=, Pipe, dunque: 
II. La serie delle ® è d’indice 4. 
Se i due punti pi, pa si prendono infinitamente vicini, risultano infinitamente 
vicini i punti pi e pa, pe Pa; allora due sole ® passano per p1, pa, e sono quelle 
che corrispondono alle rette p'1p"; Pip" 
III. Solamente due curve ® toccano una retta data in un 
punto dato. 
ì IV. Le ® che passano per un punto arbitrario formano due 
serie semplicemente infinite ciascuna d’indice 2. Queste serie 
hanno comune una curva ® che ha un punto doppio nel punto preso 
ad arbitrio. 
Se il punto arbitrario è p.le curve d’una serie corrispondono alle rette del fa- 
scio che ha il centro in p', le curve dell’altra serie corrispondono alle rette del fascio 
che ha il centro in p'. La curva comune alle due serie corrisponde alla retta p' p'. 
Le ® sono d’ordine n e di genere p, quindi la loro classe è: 
m=2(Nn+p— 1); 
alle tangenti d’una data ®' corrispondono le ® che toccano una retta R, dunque 
alle tangenti che passano per p' ed a quelle che passano per p' corrispondono le ® 
che passano per p e toccano la retta R; perciò: 
Wo WVIGONO 
4Mn+p— 1) 
curve ® che passano per un punto dato e toccano una retta data. 
Osservando poi che il numero dei punti di flesso di una D' è 
i—3(n-+2p—2), 
ed il numero delle tangenti doppie 
qr=2n(n+2p—-5)+2(p—1)(p— 6), 
deduciamo : 
VI. Vi sono 
3(Nn+2p—_ 2) 
curve ® che hanno un contatto tripunto con una retta data. 
VII. Vi sono 
2n(n+2p—5)+2(p—1)(p—6) 
curve ® che toccano in due punti distinti una retta data. 
