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II. Se una curva fondamentale del piano doppio è incontrata 
in / punti variabili da una ®©, il punto fondamentale corrispon- 
dente è fondamentale /-plo per la trasformazione congiunta. 
Mentre: 
III. Le curve fondamentali di 2% o 3° specie non sono incon- 
trate in punti variabili dalle ©. 
Se la curva doppia passa con j' rami per un punto fondamentale /' di 1° specie, 
isuoi j' punti infinitamente vicini ad /', essendo congiunti a sè stessi, appartengono 
alla curva congiunta ad /', che quindi tocca in f' gli j" rami della Q°. Vediamo 
perciò che la curva fondamentale corrispondente ad /" tocca la curva limite in y 
punti, ossia: Ù 
IV. Le curve fondamentali di 1* specie toccano la curva li- 
mite in tutti i punti comuni non fondamentali. 
9. Se una retta A passa per un punto fondamentale f, #-plo del piano doppio, 
la © corrispondente sì spezza in una curva d’ordine n —% congiunta a sè stessa 
corrispondente alla R, ed in un luogo complessivo congiunto a sè stesso d’ordine +. 
Riguardo alla formazione di questo luogo, ai cui punti corrispondono i punti infinita- 
mente vicini ad f, possono darsi tre casi: 
I.Ad un punto fondamentale i-plo del piano doppio può 
corrispondere una curva o d’ordine è, ed i punti infinitamente 
vicini ad un punto, congiunti ai punti di g. 
IIL Adun punto fondamentale î- plo del piano doppio possono 
corrispondere due curve congiunte degli ordini %, 4%, essendo 
ia tuo=0l 
III.Ad un punto fondamentale è - plo del piano doppio può 
corrispondere una curva g' d’ordine è congiunta a sè stessa. 
Diremo le curve fondamentali g' di 1°, 2°, o 3° specie, secondo che sono congiunte 
ad un punto, ad un’altra curva fondamentale, od a sè stesse. Anche i punti fonda- 
mentali del piano doppio si possono dividere in tre specie, come le curve fondamentali 
corrispondenti. 
IV. Nel piano semplice le curve fondamentali della 1% e 2° 
specie sono razionali, quelle di 3° specie sono iperellittiche. 
10. Nel piano P consideriamo un punto fondamentale è - plo di 1° specie e sup- 
poniamo che la curva fondamentale o corrispondente passi con s rami pel suo punto 
congiunto. A tutte le rette descritte pel punto fondamentale è-plo corrispondono le 
curve d’un fascio d’ordine n —è e la curva dg; siccome poi la retta ha un punto 
infinitamente vicino al punto fondamentale, la curva corrispondente d'ordine n — è 
deve incontrare la o" in un punto variabile e deve passare semplicemente pel punto 
congiunto. 
Ora supponiamo che la g' abbia punti multipli secondo 
ki, ka, ks goa ki, 
rispettivamente negli »° punti fondamentali 
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