— 21 
punti variabili da una ®. Dalla (1) e dalla (2) abbiamo 
xis=8n--2(p—2), (5) 
che ci dà 
ma la Jacobiana è formata dalla curva doppia O' e dalle curve ' che non sono 
incontrate in punti variabili dalle D', quindi una di queste incontra la Q' in 2 (p+1) 
punti variabili, in altri termini: 
II. Le curve iperellittiche ® di genere p hanno 2 (p+1) 
punti uniti('). 
Ad una curva D' corrisponde una retta del piano P, di più una D' è congiunta 
a sè stessa; dunque se chiamiamo n l'ordine e pil genere della trasformazione 
diremo: 
III. In una trasformazione d’ordine n e di genere p abbiamo 
una curva limite d’ordine 2(p+ 1). 
12. Nel piano semplice si fissi un punto o' di Q’, così viene fissato nell’altro 
piano un punto o di Q. Sappiamo (n.3) che a tutte le rette le quali passano per o' 
corrispondono le ® che toccano la curva limite in 0; ora preso un punto p e i due 
p', p' le ® corrispondenti alle rette o' p', 0/p' passano per p, dunque: 
I. Per un punto arbitrario passano due ® che toccano la 
curva limite in un punto dato. 
In modo del tutto analogo stabiliamo che: 
II. Una, ed una sola, ® si può descrivere tangente alla 
curva limite in due dati punti. 
Prendendo questi punti infinitamente vicini si può dedurre: 
III. Alle tangentidella curva doppia corrispondonole ® che 
hanno un contatto quadripunto colla curva limite. 
Fra le rette del fascio che ha il centro in o abbiamo quella principale che 
ha per corrispondente una curva D con una cuspide in 0, per conseguenza: 
IV. Il numero delle ® che passano per un punto dato, ed 
hanno una cuspide sulla curva limite, è eguale al doppio della 
classe dell’inviluppo delle rette principali. 
Per conoscere quando una curva C ha per corrispondenti due curve congiunte, 
o una curva congiunta a sè stessa, basta supporre che alla curva C corrisponda un 
unico luogo, determinarne l’ordine ed i punti multipli, quindi osservare se per il 
loro numero e per la loro posizione viene o no a spezzarsi. È facilissimo riconoscere 
l’ordine del luogo C’ e le sue singolarità poste nei punti fondamentali; qui appresso 
determineremo le singolarità che può avere nei punti della curva doppia. 
Supponiamo che la C abbia un punto r- plo in un punto o della curva limite. 
Tutte Ie ® che passano per o sono in questo punto intersecate r volte dalla C, perciò 
nel piano semplice abbiamo un fascio di rette che hanno comuni, col luogo C', r 
(!) Ogni curva iperellittica di genere p ha 2(p+ 1) punti uniti. Vedi p. es. Clebsch 
lo @ 3 dE0. 
