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punti posti in o. Fra le D che passano per o ve n’ è una che ha în o una cuspide 
ed ivi taglia in 2» punti la C, quindi la retta principale corrispondente incontra il 
luogo C'in 2, punti situati in o. 
V. Se una curva ha un punto r-plo sulla curva limite, il 
luogo corrispondente passa pel punto corrispondente sulla curva 
doppia con r rami aventi la direzione principale. 
Supponiamo che la C tocchi la curva limite in un punto o; le ® che passano 
per o sono tangenti alla C in questo punto, per conseguenza le rette corrispondenti 
nel piano semplice hanno in o' due punti comuni col luogo C'; abbiamo poi dimo- 
strato che per un punto si possono descrivere due curve ® tangenti alla curva limite 
in un punto dato, quindi prendendo il punto sulla curva C infinitamente vicino a 0 
vediamo che si possono descrivere due curve ® che abbiano in o un contatto tri- 
punto colla 0, a queste due ® corrispondono due rette distinte che hanno in o tre 
punti comuni col luogo C'. 
VI. Se una curva tocca in un punto la curva limite,il luogo 
corrispondente ha un nodo nel punto corrispondente sulla curva 
doppia. 
Come casi particolari deduciamo che: 
VII. Alle tangenti della curva limite corrispondono le D 
dotate d’un punto doppio. 
VIII. Alle tangenti doppie della curva limite corrispon- 
dono le ®' con due punti doppî. 
Supponiamo che la C abbia in o un contatto tripunto colla curva limite, allora 
il luogo C' ha un punto doppio in o' come nel caso precedente, però nel caso pre- 
sente esiste una sola ® che ha in o un contatto tripunto colla C, e questa ® è 
precisamente quella che ha in o un contatto quadripunto colla curva limite. 
IX. Se una curva ha un contatto tripunto collacurva limite, 
la curva corrispondente ha una cuspide nel punto corrispondente 
sulla curva doppia. La tangente nella cuspide è anche tangente 
alla curva doppia. 
Come caso particolare: 
X. Alle tangenti stazionarie della curva limite IEOROnE 
dono le D dotate d’una cuspide. 
Supponiamo finalmente che la C abbia colla curva limite un contatto 7 - punto 
(r > 3) ino. Come nei casi precedenti abbiamo nel piano semplice un fascio di rette 
che hanno in o' due punti comuni col luogo ('; tra queste rette consideriamo la 
tangente in o alla curva ‘doppia, la ® corrispondente ha un contatto quadripunto 
in o colla curva limite, e perciò pure in o incontra la curva C in quattro punti, 
quindi la detta tangente ha in o' quattro punti comuni col luogo C'. 
XI. Se una curva ha un contatto r-punto (r > 3) colla curva 
limite, il luogo corrispondente ha due rami che nel punto cor- 
rispondente toccano la tangente alla curva doppia, ed incontrano 
questa curva in 7 punti. 
