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SE. I punti deppî del piano semplice. 
13. Se un punto &' è doppio per P', (n. 2) o è un punto fondamentale, o è un 
punto d’una curva fondamentale. Infatti supponiamo che vi sia un punto doppio @' 
di P', non fondamentale e posto fuori delle curve fondamentali. Conduciamo una 
retta per o', su questa retta avremo due punti congiunti consecutivi situati in @/, 
quindi la curva ® corrispondente avrà una cuspide nel punto + corrispondente ad &'; 
ma per &' passano infinite rette, dunque in P abbiamo una serie semplicemente in- 
finita di curve ® con una cuspide in ©, tutte le ® di questa serie tagliano in n —2 
punti variabili una retta condotta per @, quindi tutte le rette che passano per ' 
tagliano in n—2 punti variabili una ®' che passa per @', in altri termini vi deve 
essere un fascio di curve ' con un punto doppio in 0; ma due D' non possono ta- 
gliarsi in più di due punti non fondamentali, quindi vi può essere un fascio di ®' 
con un punto doppio in ', solamente quando tutte le D' del fascio abbiano una parte 
comune g', che deve essere una curva fondamentale contenente '. 
Supponiamo d’avere un punto fondamentale ?'- plo &' doppio per P'. 
Essendo w' congiunto a sè stesso è un punto fondamentale di 3* specie (8), ed 
ha per corrispondente una curva fondamentale @ non incontrata dalle ® in punti 
variabili (8. III). 
A tutte le rette R' che passano per @' corrispondono le curve d’ ordine n — i' 
d'una serie semplicemente infinita, e queste curve toccano la w in un punto varia- 
bile corrispondente ai due punti consecutivi congiunti di R' posti in @. 
In P' consideriamo il punto @' come una curva doppia infinitamente piccola, così 
in P considereremo la curva fondamentale © come una curva fondamentale limite. 
Come è multiplo per la Jacobiana delle ®' un punto fondamentale è - plo doppio 
per P'? Ritenendo le stesse denominazioni del numero 10, ed osservando che in questo 
caso le curve d’ordine n — è del sistema semplicemente infinito oltre ai contatti 
colla curva limite ©, etc, devono toccare in un punto variabile la curva limite fon- 
damentale w, giungiamo all’equazione : 
S(ir-s)(—s +1) (n-i)(n-d+3) 
ey j ga N 2, 
che ci dà: 
3g = 800 
I. Un punto fondamentale è - plo doppio per P'è multiplo 
secondo 3° per la Jacobiana delle D- 
In un punto fondamentale è - plo vi sono in generale (8 — 1) intersezioni 
delle D' colla Jacobiana; però se il punto fondamentale è doppio per P' ve ne sono 
3%, quindi ne restano assorbite altre è e per conseguenza una D' taglia in 2(p+1)—% 
punti variabili la curva doppia; queste 2(p + 1) — è intersezioni sono punti uniti 
della ®'; ne abbiamo poi è situati nel punto fondamentale doppio per P', dunque 
in tutto sono 2(p +1) come in generale. Alle intersezioni variabili d’una ' colla 
curva doppia corrispondono le intersezioni d’ una retta colla curva limite O, quindi: 
Ù 
