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II. Se nel piano P' abbiamo un punto doppio fondamentale 
î-plo, la curva limite si spezza in una curva Q d’ordine 2(p+1)—% 
corrispondente alla curva doppia, ed.in una curva fondamentale 
d’ordine è corrispondente al punto doppio. 
14. Supponiamo che sopra una curva fondamentale g' d’ordine è vi sia un punto @' 
non fondamentale, doppio per P. La o' potrà appartenere indifferentemente a qua- 
lunque delle tre specie? 
I. Una curva fondamentale che contiene un punto doppio 
per P' non fondamentale, è di 8° specie (congiunta a sè stessa). 
Supponiamo che la curva fondamentale g' sia di 1° specie; allora il punto o’ deve 
essere congiunto ad un punto infinitamente vicino al punto congiunto alla g!; ma a 
corrisponde a sè stesso, dunque g' deve passare pel suo punto congiunto, ciò che è 
impossibile (10.1); dunque la o' non può essere di 1° specie. 
Se g' è di 2° specie per o' deve passare la curva fondamentale congiunta. Siano 
î1,% gli ordini di queste curve; se î1 + da = ile ® hanno un punto #-plo nel punto 
fondamentale f corrispondente alle due curve in questione. Chiamiamo R' le rette che 
passano per o’, ed R quelle che passano per @. Una R' taglia le due curve fonda- 
mentali congiunte in è —2 punti distinti da &' che danno î— 2 rami della ® cor- 
rispondente i quali passano per /; abbiamo poi sulla R' due punti congiunti consecutivi 
posti in @' che ci danno altri due rami della ® che passano per f; quindi in tutto 
vi sono è rami, come quando la retta non passa per o". Studiamo meglio la natura 
del punto ?-plo posto in f. Una retta R è tagliata in n—i punti variabili da tutte 
le ® corrispondenti alle R', quindi alla R corrisponde una curva D' d’ordine n —d 
incontrata in n —è punti variabili da tutte le R', in altre parole: le D' corrispon- 
denti alle R formano un fascio di curve d’ordine n— é, e le curve del fascio non 
passano per o. Posto ciò riprendiamo una retta R' e la ® corrispondente; sappiamo 
giù che questa curva ha in f un punto é-plo, ora si tratta di riconoscere le sue tan- 
genti in f. Fra tutte le D' corrispondenti alle R ve ne saranno è —2 che passano 
ciascuna per una delle è — 2 intersezioni, distinte da &/, d’una A' colle due curve 
fondamentali congiunte, queste è — 2 curve D' danno, in Pi — 2 tangenti in f alla ®, 
siccome poi la A' ha due punti congiunti consecutivi in o/, i due rami rimanenti toccano 
una stessa retta corrispondente alla D' del fascio, la quale passa per o. Da tutto 
ciò possiamo concludere che mentre ad una qualunque retta di P' corrisponde una ® 
con un punto é-pio in f e colle è tangenti distinte, ad una retta che passa per @' 
corrisponde una ® con un punto è-plo in f,.é—2 rami hanno le tangenti distinte e 
variabili, gli altri due hanno una stessa tangente e fissa. È evidente che sia in un 
caso, sia nell’altro, la singolarità in f conta per uno stesso numero di punti doppî 
relativamente al genere, quindi se le ® corrispondenti alle rette che ‘non passano 
per &' hanno è punti doppî variabili non fondamentali, anche le ® che corrispon- 
dono alle rette per @' ne hanno è. Da questo risultato possiamo dedurre che @' non 
può essere un punto doppio per P'; poichè, se lo fosse, ogni retta condotta per &' do- 
vrebbe essere toccata in o' dalla curva congiunta, e quindi conterrebbe altre dè —1 
coppie di punti congiunti distinti da ', allora la ® corrispondente avrebbe è — 1 
punti doppî variabili, e non è. 
