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15. Ci resta a considerare il caso possibile in cui la o' sia di 8° specie. Una R' 
taglia la o in é—1 punti distinti da wi quali danno î— 1 rami della © corrispon- 
dente che passano per f; però la R' contiene in 6 due punti congiunti consecutivi, 
quindi in f abbiamo per la © altri due rami che insieme ai primi ne formano i+1:; 
dunque mentre una qualunque ® ha in f un punto é-plo, le ® corrispondenti alle R' 
hanno in f un punto (i+ 1)-plo. Una retta Rè tagliata in n—i—1 punti varia- 
bili dalle ® corrispondenti alle rette R/, ossia alle rette che passano per f corri- 
spondono le D' d’ordine a —i appartenenti ad an fascio con un punto base in dl. 
Queste curve del fascio non incontrano in punti variabili la curva fondamentale q'. 
Infatti ritenendo le stesse notazioni del n. 10 vediamo che essendo o una curva fon- 
damentale 
È do. ki, = 03 
di più le curve del fascio tagliano in 
o=(n_ i — L(I-kKI)kKI—1 
punti variabili la g', e non tagliandosi fra loro fuori dei punti base 
(n= IR) 1, 
equazioni che danno = 0 
Dal momento che le ®' del fascio non incontrano in punti variabili la o, ve ne deve 
essere una che si spezza nella g' ed in una curva D', d'ordine n— 2%, questa curva 
insieme alla g' contata due volte corrisponde ad una retta R che passa per f. 
Da ciò che abbiamo detto risulta che. v'è un fascio di ®' che hanno tutte un 
punto doppio in w', le curve di questo fascio contengono tutte la o come parte, ed 
una la contiene due volte. Ciò basta per ritenere che: 
I. Quando sopra una curva fondamentale g' abbiamo un punto 
non fondamentale doppio per P', la o si stacca due volte dalla 
Jacobiana. 
Per conseguenza: 
II. Un punto doppio per ? non fondamentale, posto sopra 
una curva fondamentale d’ordine i, diminuisce di è unità l’ordine 
della curva doppia. 
Come vedremo in alcuni casi speciali, possiamo avere un punto doppio @' di P' 
non fondamentale sopra una curva fondamentale g', facendo in modo che vi sia un 
fascio di ®' con un punto doppio in @/, e cheg' si stacchi due volte dalla Jacobiana. 
La retta Ri avendo per corrispondente una curva d'ordine n—2i ha, in Î, 2i 
intersezioni colle ®, quindi: 
III. Se sopra una curva fondamentale g' d’ordine i v'è un punto 
non fondamentale doppio per P, le curve ® nel punto î-plo fonda- 
mentale corrispondente alla dg! toccano coni rami una retta fissa. 
Osserviamo che alle direzioni in f corrispondono le direzioni in &/, cd alle di- 
rezioni consecutive a quelle in f corrispondono i punti della o'. 
In generale in un punto fondamentale #-plo le @ hanno è2 intersezioni: nel caso 
però in cui sulla curva fondamentale corrispondente vi è un punto doppio per P' 
non fondamentale ne hanno 2%?, dunque: 
