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IV. Un punto doppio per P' non fondamentale situato sopra 
una curva fondamentale d’ordine è, diminuisce di è? unità l'ordine 
della trasformazione congiunta. 
Ora vediamo qual’ è la natura del punto (i + 1)-plo che hanno in f le ® cor- 
rispondenti alle rette R'. Una R' taglia la dl iné—1 punti distinti da @', questi 
danno è — 1 rami che toccano in f la R,,i due punti congiunti consecutivi della N 
posti in @' danno due rami che passano per f ed hanno una stessa tangente cor- 
rispondente alla ' che tocca in &' la R'; dunque mentre ad una retta qualunque 
corrisponde una ® che tocca con 2% rami una retta fissa in un punto fisso, 
V. Ad una retta che passa per un punto doppio di P' non 
fondamentale, posto sopra una curva fondamentale d'ordine è, cor- 
risponde una curva che ha un punto (î+-1)-plo nel punto fonda- 
mentale corrispondente; i—1 rami toccano una retta fissa, gli 
altri due hanno una stessa tangente variabile. 
La singolarità che una qualunque curva ® ha in f è come formata dà due punti 
i-pli infinitamente vicini, e per il genere fa l’ufficio di (i — 1) punti doppî; quando 
le ® corrispondono ad una retta R', uno dei rami tangenti alla , si stacca, e in f 
si unisce ad un altro per formare una cuspide; è facile vedere che in questo caso la 
singolarità per il genere equivale ad i(î—1)+1 punti doppî, quindi quando una 
retta viene a passare per @', la curva corrispondente perde uno dei punti doppî Ò 
non fondamentali che viene assorbito in f, e in P' delle è coppie, di punti con- 
giunti di una retta, se passa per o, una coppia si riduce a due punti congiunti 
consecutivi in @'. 
$S 7. Sopra alcuni luoghî ed inviluppi relativi a P e P'. 
4 N—y a Ria . Rn DREI AR 
16. Sopra una retta R' vi sono —— coppie di punti congiunti i quali insieme 
alle y intersezioni colla curva doppia formano il sistema dei punti comuni alla retta 
ed alla sua curva congiunta. Ora consideriamo un fascio di rette col centro in Mm, 
le curve congiunte formano un fascio projettivo, ed il luogo dei punti comuni ad una 
retta del fascio ed alla curva congiunta è formato dalla Q' e da un’altra curva X° 
congiunta a sè stessa d'ordine N—v+-1, luogo delle coppie di punti congiunti sì- 
tuati sulle rette del fascio. Le curve X' formano una rete, quelle che passano per m' 
passano anche per mo' e formano un fascio, la X' relativa ad m' è quella del fascio 
che tocca in m' la retta m' mm. 
Le curve ' passano tutte per i punti doppî di P', infatti la retta om incon- 
tra la curva corrispondente in ' che perciò appartiene alla A°. 
Il luogo complessivo £'Q' passa per un punto fondamentale collo stesso numero 
di rami con cui vi passa la curva congiunta ad una retta, ma la rete di queste curve 
determina la trasformazione congiunta, ed in questa trasformazione una curva ®' cor- 
risponde a sè stessa; dunque una D' deve incontrare una curva congiunta ad una 
retta, e quindi il luogo X'Q', in n(N—1) punti fissi, per conseguenza restano 
n(N+1)-n(N-1)=2n 
