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intersezioni variabili; di queste 2 (p + 1) appartengono alla curva doppia Q'(11. II), 
le altre 2(n—p—1) sono situate sulla A°, Evidentemente questi punti comuni for- 
mano n—p—1 coppie di punti congiunti d’una ®' allineate con m', dunque: 
I. L’inviluppo Z delle rette determinate dalle coppie di punti 
congiunti d’una D' è della classe 
n—-p_ 1. 
Il ragionamento precedente non si altera quando Miao punti doppî di P' 
non fondamentali situati sopra curve fondamentali. Se v'è un punto w' di P' fonda- 
mentale d-plo resta sempre vero che una curva ®' incontra in 2n punti il luogo KO, 
però in questo caso dei detti punti, 2 (p + 1) —è appartengono alla Q' (13), quin ne 
restano 2(n—p—1)+%; ma la X' passa per @' e quindi ivi taglia la DI in ? punti, 
dunque ne abbiamo 2(n—p—1) come prima. 
II. Un punto doppio di P' non altera la classe dell’inviluppo Z. 
Osserviamo che la X' ci può dare la classe dell’inviluppo delle rette determinate 
dalle coppie di punti congiunti d’una qualunque curva congiunta a sè stessa, o di 
due curve congiunte. Come caso particolare ci può far conoscere la classe dell’invi- 
luppo delle rette principali. 
17. L’inviluppo I° è razionale perchè alle sue tangenti corrispondono le ® che 
hanno un punto doppio sopra una data retta, e quindi la serie delle tangenti è projet- 
: tiva ai punti d’una punteggiata. Da ciò segue che: 
I. La curva / inviluppo delle rette determinate dalle coppie 
di punti congiunti d’una D' è d'ordine 
2n-p—_2). 
Alla curva X' relativa ad m' corrisponde una parte del luogo dei punti doppî 
delle ® che passano per m, l’altra parte corrisponde alla X' relativa ad m'; ora 
una K' è incontrata da una D' inn —p— 1 coppie di punti congiunti variabili, dunque: 
II. Il luogo dei punti doppî delle ® che passano per un punto 
dato è formato da due curve d’ordinen—p—1l. 
III. Vi sono 2(n--p—1) curve ® che passano per un punto 
dato ed hanno un punto doppio sopra una retta data. 
Prendiamo m' in un punto fondamentale f" è-plo di 12 specie, allora X' si spezza 
in una curva k' e nella curva g' congiunta ad /". Se la X' passava con j rami per /”, 
la #o' vi passerà con j+ 1 rami e le sue intersezioni variabili con una D' saranno 
2(n—-p—1)—%, delle quali è stanno sopra la g' e le altre 2(n—-p—t—1) 
determinano n—p — &— 1 tangenti alla /' condotte per . Le è intersezioni colla g' 
sono è punti della D' congiunti ai suoi è punti infinitamente vicini ad f", dunque 
determinano altre è tangenti alla Z condotte per /', in tutto avremo n—p— 1 tan- 
genti come prima. 
Ora siano f', f" due punti fondamentali d-pli congiunti (di 2° specie). Sulla 
retta /'£' prendiamo un punto qualunque m', evidentemente la A relativa ad esso 
passerà semplicemente per /', £" e quindi taglierà una Din 2(n—-p—d—1) 
punti non fondamentali, questi danno n—p — è — 1 tangenti distinte condotte alla 
I' da m' e la retta f" £' sarà una tangente è-pla. 
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