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si prendono tre curve generali ®' per determinare la rete. In questi casi vi è bensì 
un numero semplicemente infinito di curve ®' dotate d’un punto doppio non fonda- 
mentale, ma non vi può essere per la generalità della rete un numero semplicemente 
infinito di curve D' dotate di due punti doppî non fondamentali, o ciò che è lo stesso 
devono mancare le curve fondamentali di 2* e 3° specie (11). 
I. In una trasformazione generale di genere 0 o di genere 
1le curve fondamentali del piano semplice sono tutte di 1° specie. 
Nelle trasformazioni generali di genere 0 o di genere 1, non solo mancano le 
curve fondamentali di 2* e 3° specie, ma anche i punti fondamentali di 2° e 3° specie 
ed i punti doppî di P' non fondamentali. 
Supponiamo di avere due punti f, f' fondamentali è-pli congiunti; evidentemente 
per essi non passa la curva doppia, quindi vi dovranno passare le curve fondamentali 
con 8° — 1 rami. Sia v' una di queste, ad un suo punto infinitamente vicino ad f 
deve corrispondere un punto infinitamente vicino al punto congiunto alla o, che è 
necessariamente di 1% specie, e deve corrispondere un punto infinitamente vicino ad £‘; 
ma ciò è contrario alla nostra ipotesi, dunque: 
II. In una trasformazione generale di genere 0 o di genere 1 
mancano i punti fondamentali di 2° specie. 
Supponiamo ora d’avere un punto fondamentale o! i-plo doppio per P'. La curva 
limite fondamentale @ d’ordine è non può essere incontrata in punti variabili dalle 
® (8. III), quindi deve passare per i punti fondamentali, e perciò in P' avremo curve 
fondamentali ‘che passano per il punto doppio w/; sia g' una di queste, ad un suo punto 
infinitamente vicino ad &' deve corrispondere lo stesso punto ed un punto infinita- 
mente vicino al punto congiunto, perchè 9! è di 1° specie; ma ciò non è possibile, 
dunque: 
III. Inuna trasformazione generale di genere 0 o di genere 
1 mancano i punti fondamentali doppî per P' (3° specie). 
È poi evidente che : 
IV. Inuna trasformazione generale di genere 0 o di genere 
1 mancano i punti doppî per P' non fondamentali. 
Infatti questi punti dovrebbero essere situati sopra curve fondamentali di 3° specie 
(14. I). 
20. Avuto riguardo al teorema (18.1), i teoremi (II) (III) del n. 10 nel caso di 
p= 0 0 p==1 si possono enunciare così: 
I. In una trasformazione generale di genere 0 o di genere 
1la curva doppia non incontra le curve fondamentali fuori dei 
punti fondamentali. 
II. In una trasformazione generale di genere 0 o di genere 
1 sulla curva limite non vi sono punti fondamentali. 
Quando p= 0 la curva limite è una conica (11. II), e non passando per i punti 
fondamentali, è toccata in n punti variabili da una ®; di più la curva fondamentale © 
corrispondente ad un punto fondamentale #- plo tocca la curva limite dovunque l’ in- 
contra, ossia in e punti, dunque: 
III. In una trasformazione generale di genere 0 la curva 
