— 539 — 
così sulla R una corrispondenza tale che ad un punto della prima serie ne corri- 
spondono n?, della seconda e ad un punto di questa ne corrispondono n? della 
prima, perciò in tutto vi saranno n?, + n, punti uniti; ma ogni punto unito ha il 
congiunto sulla retta R, dunque: 
I. Sep=0 l'ordine della trasformazione congiunta è 
N=n% + n%. 
In modo simile si trova che : 
JI. Se p=0 un punto fondamentale è-plo per la trasforma- 
zione doppia è punto fondamentale multiplo secondo 
= ima un da Ng 
per la trasformazione congiunta('). 
$S 3. La trasformazione doppia n= 2, p=0. 
22. Quando p=0 abbiamo: 
Li1=n*—2, xii=8n—4, (6) 
e quando p= 1 
xi=n—-2, xi/=3Bn—=2. (7) 
Evidentemente non abbiamo trasformazioni doppie di primo ordine, n= 1, per- 
chè due rette s'incontrano in un sol punto, e se n=-2 bisogna considerare sola- 
mente le (6), che ci danno l’unica soluzione 
n= 
In questo caso la rete delle ®' è una rete di coniche che passano per due punti 
fissi l'1, 21; la Jacobiana è formata dalla retta 1’, 2", e dalla curva doppia (11. I), 
che è una conica la quale passa peri punti 1'1, 271 (20. III). La retta fondamentale 
corrisponde ad un punto fondamentale semplice 1, del piano doppio (9. I), e le ® 
sono le coniche che passano per questo punto ed hanno un doppio contatto (7. IV) 
con una conica fissa (11. III), che è la curva limite (*). Ai punti fondamentali 1',, 2, 
corrispondono nel piano doppio le tangenti condotte da 1, alla conica limite (8. L IV). 
La trasformazione congiunta è un’inversione quadratica (7. III) che ha due punti 
fondamentali in 1'1, 2',, mentre il terzo punto fondamentale 1 è congiunto alla 
retta 1’, 21, polo di questa retta rispetto alla conica doppia. La curva I’ inviluppo 
delle rette determinate dalle coppie di punti congiunti d’una conica D' è della prima 
classe (16.1), e quest’inviluppo è il punto 3, qualunque sia la ®'. 
Prendendo i punti fondamentali infinitamente vicini in una data direzione R', 
le D' sono le coniche che toccano la retta R' in un punto fisso 1’, e formano una rete; 
e la conica doppia si spezza in due rette doppie che passano per 1'1. Le ® sono le 
coniche che passano per un punto fisso 1, e toccano due rette limiti. Se 21 è il 
punto congiunto alla R',il punto congiunto a p' è un punto p' allineato con p, 21, 
e p', p' sono separati armonicamente dalle rette doppie. Ad una retta è congiunta 
una conica che passa per 2", e tocca in 1’, la retta R'. 
(!) In questi teoremi abbiamo sempre supposto che la trasformazione di genere 0 sia generale 
nel senso del n. 19. 
(2) Clebsch. I. c. 
