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23. Dopo aver preso i punti fondamentali 1,2, possiamo scegliere per coniche 
determinanti la rete tre coniche qualunque che passino per 1,2". Prendiamo la 
retta 1, 2, insieme ad un’ altra retta arbitraria R/4 che tagli la 1, 24 in #5 la retta 
1’, 2', insieme ad un’altra retta R/, che passi per o/; e due rette 134, 2113. In 
questo caso avremo un fascio di coniche ®' con un punto doppio in @', e saranno 
formate dalla retta 1'12',, e da una retta per w/; tra le coniche del fascio v'è la retta 
1'12'1 contata due volte, che per conseguenza si stacca due volte dalla Jacobiana (15). 
La retta 1',2', è una curva fondamentale di 3° specie, il punto w' è un punto doppio 
per P' (14. I). La curva doppia si riduce ad una retta Q' (15. II) che passa per 31, 
perche 3‘, è punto doppio per una conica 2‘, 3‘,, 1‘13 della rete. 
Alla retta fondamentale 1’, 2/1 corrisponde un punto fondamentale semplice 1. 
I due punti fondamentali 1’, 24 sono congiunti, di 2* specie (8), e ad essi corri- 
sponde una retta Ri. La retta doppia Q' ha per corrispondente una conica limite Q 
che tocca in 1, la Ri. Le ® sono le coniche che toccano in 1 la retta. (15. III), 
e toccano in un punto variabile la conica limite Q. La trasformazione congiunta è 
del 1° ordine (7. III), mentre nel caso precedente era del 2° (15.IV). Questa tra- 
sformazione congiunta è un’omologia armonica, a' è il centro d'omologia, O è l'asse. 
Ad una retta che passa per &' corrisponde una retta che passa per 1, ed è 
contata due volte (15. V). 
$j4. La trasformazione doppia p=0, a = 3. 
24. Se n=83 le (6) ci danno: 
In=3,' C(a=%=03= IL 
e le(7): 
DIR =(0=09=0 ana 
dunque abbiamo due sole trasformazioni doppie del terzo ordine. 
Nel primo caso le ®' sono cubiche d’una rete, ed hanno fisso un punto doppio 
1’, e tre semplici 1", 2/1, 34. La Jacobiana è formata dalle tre rette fondamentali 
1’, 11, 1,2, 193 e dalla curva doppia, che è una cubica con un punto doppio 
in 1’, e tre semplici in 11, 241, 34 (11. I) (20. III). Le rette fondamentali corri- 
spondono a tre punti fondamentali 11,21, 31 (9.I), e le ® sono le cubiche che pas- 
sano per questi tre punti, hanno un punto doppio variabile (7, V), ed un triplo 
contatto colla conica limite (7. IV) (11. II). Ai tre punti 11, 21, 3 corrispondono 
tre rette che passano rispettivamente per 11,21, 31, e toccano la conica limite (8.1. IV), 
ciascuna di queste rette è incontrata in due punti variabili da una ®, dunque i tre 
punti 1,, 21, 34, sono fondamentali doppî per la trasformazione congiunta (8. II), e 
corrispondendo al punto 1%, una conica che passa per 11, 21, 31, che ha un doppio 
contatto colla conica limite, ed è incontrata in tre punti variabili da una ®, il punto 
1°, è triplo per la trasformazione congiunta, altri punti fondamentali semplici per questa 
trasformazione sono i punti 1/1, 2',, 31 congiunti alle rette 1', 11, 1°,2, 1231. 
Riassumendo vediamo che la rete la quale stabilisce la trasformazione razionale 
involutoria congiunta è formata da curve del 5° ordine (7.II) che hanno fisso un 
punto triplo, tre punti doppî, e tre semplici. 
