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Dai punti 11, 21,3, si possono condurre sei tangenti alla conica limite, tre sono le 
rette fondamentali, le altre tre hanno per corrispondenti le rette 1°, 2%, 243,31 
e le congiunte 1°, 3,1% 2", 1", 1',. Alle tre rette 1,21, 2131, 3: 11 devono cor- 
rispondere tre rette congiunte a sè stesse e passanti per 34,21, 1/1; ora ciascuna 
di queste rette incontra due rette fondamentali, quindi deve passare per due dei 
punti 1',, 2, >, e precisamente una conterrà i punti 3, 11,21, un’ altra i punti 
l'1, 2,53, ed un’altra i punti 21,31, 1/1; in altri termini i punti 1, 2,3 
sono i vertici d’un triangolo circoscritto al triangolo 1',, 21, 31. 
Preso un punto m', il luogo delle coppie di punti congiunti situati sulle rette 
che passano per m' è una cubica®A' che passa per i 7 punti fondamentali, per m/, 
e pel punto congiunto 1n' (17). La X' taglia una D' in quattro punti non fondamentali, 
dunque l’inviluppo /' è una conica (17. I. II). Se per m' prendiamo uno dei punti 
fondamentali 1’,, 2°, 31 la A' si riduce ad una delle rette 1,2", 213,341 
congiunte a sè stesse, quindi tutte le coniche /’ sono inscritte al triangolo 1', 2131. 
L’inviluppo delle rette principali è della 4* classe. 
Passando al piano P si trova che una A’ ha per corrispondente una conica cir- 
coscritta al triangolo 11 21 31, perciò il luogo del punto doppio delle ® che passano 
per m è formato da due coniche descritte per i quattro punti 1,, 21,31, , (Ilio I008) 
Da ciò discende che vi sono quattro cubiche ® che passano per un punto dato ed 
hanno il punto doppio sopra una retta data (17. IV). Le ® che hanno un punto 
doppio sopra una retta data inviluppano una curva del 6° ordine con un punto doppio 
in ciascuno dei punti fondamentali 11, 21, 31 (17. VI). Per un punto m passano otto 
curve D dotate d’una cuspide sulla conica limite. 
Questa trasformazione doppia stabilisce una corrispondenza univoca tra i punti 
di P e le rette di RP". Ad un punto p possiamo far corrispondere la retia p' p'; 
allora una retta di P' ha per corrispondente un solo punto p (17). Ai punti di .' 
corrispondono le coniche circoscritte al triangolo 13 24 3,, alle rette di P corrispon- 
dono le coniche iscritte nel triangolo 1‘, 2" 311. 
25 Sulla retta 1', l', scegliamo un punto @', e prendiamo per rete delle D' quella 
determinata da una cubica qualunque con un punto doppio in 1', e tre semplici 
in 1, 2,81, dalla retta 1, 1', insieme con una conica del fascio determinato dai 
punti 13, @, 2, 81, dalla retta 1° 1’, insieme con un’altra conica dello stesso fa- 
scio. Allora abbiamo un fascio di ®' che hanno un punto doppio in w' e sono 
tutte formate dalla retta 1’, l'i e da una conica che passa per 1, @/, 24,34; fra 
tutte le D' del fascio ve n’ è una formata dalla retta 1'y 1’, presa due volte, e dalla 
retta 213 (14). Il punto è è doppio per P’, la retta 1’ 1’, è fondamentale di 
3° specie e si stacca due volte dalla Jacobiana (14.1) (15.1); rimangono per com- 
pletarla le rette fondamentali 1° 2/,, 13% ed una conica che passa per 1’, 2/1, 34, 
che è la curva doppia Q' (15.II). Alla conica doppia corrisponde una conica limite 
Q (11. III) che tocca nel punto 13, corrispondente alla retta 1/9 11, la retta AR; cor- 
rispondente alla retta 2‘, 311. Le cubiche ® toccano in 1, la retta Ri (15. III) e passano 
per i punti 21,3, corrispondenti alle rette 1% 2‘, 1°2 31, toccano in due punti variabili 
la conica limite, ed hanno un punto doppio variabile. La trasformazione congiunta è 
del 4° ordine (15. IV), i punti 1°, 2", 3 sono fondamentali doppî, e poi abbiamo 
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