— 537 — 
giunta è di 2° ordine (15.IV), i punti 1‘, 211, 3, sono i punti fondamentali semplici, 
e vi sono quattro punti doppî di P', vertici di un quadrangolo che ha il triangolo 
diagonale nel triangolo fondamentale. 
28. Passiamo a considerare la trasformazione p =: 1, n= 8. Le ®' sono le cubiche 
che passano per i sette punti 
l'ap Ero Sao dino a Oa 7a 
La curva doppia del 6° ordine con un punto doppio in ciascun punto fonda- 
mentale (20, IV) è la completa Jacobiana della rete. Nel piano P non abbiamo punti 
fondamentali, la curva limite è una curva generale del 4° ordine (11.III), e le ® 
sono le cubiche che la toccano in 6 punti (7. IV) e che hanno un punto doppio: 
variabile (7. V). Ai sette punti fondamentali corrispondono sette rette tangenti doppie 
della curva limite (8.IV), le altre 21 tangenti doppie sono date dalle rette che a 
due a due congiungono i sette punti fondamentali. Ogni retta fondamentale è incon- 
trata in tre punti variabili da una ®, quindi le curve d’ottavo ordine (7. II) con- 
giunte alle rette di P° hanno un punto triplo in ciascuno dei sette punti fonda- 
mentali (8. II). 
La K' relativa ad un punto m' è una cubica che passa per i 7 punti fondamentali, 
per 10,100’, e tocca in m' la retta m'am'. Alla K' corrisponde in P una retta che 
passa per m, ed è una delle tangenti in 7 alla sola ® che ha lì un punto doppio; 
l'altra tangente corrisponde alla 4° relativa ad am’. Da ciò segue che le cubiche ®, 
le quali passano per un punto m, formano due sistemi semplicemente infiniti, il 
luogo del punto doppio delle cubiche d’un sistema è una retta (17. II). Per un 
punto passano due cubiche ® che hanno un punto doppio sopra una retta data (17. II). 
Le rette determinate dalle coppie di punti congiunti d’una ®' passano per un 
punto fisso della stessa cubica (the coresidual); e passando al piano P troviamo 
che tutte le cubiche ® le quali hanno il punto doppio sopra una retta data passano 
per un punto fisso situato sulla stessa retta (17. VI). 
Con questa trasformazione ad un punto p possiamo far corrispondere la retta 
P'p', allora a questa retta corrisponde il solo panto p; ad una retta di P corrisponde 
il punto inviluppo delle rette determinate dalle coppie di punti congiunti della ®' 
corrispondente alla retta, e ad un punto m' di P' corrisponde la retta luogo dei 
punti doppî delle ® corrispondenti alle rette che passano per m'. 
29. Prendiamo tre rette che passino per uno stesso punto 1/1, e su ciascuna di 
esse fissiamo a piacere altri due punti che chiameremo 2481, 4151, 6417. Le 
cubiche che passano per 1/1, 2%, 31, 41, 54, 64, 71 stabiliscono una trasformazione 
doppia. Il punto 1’, triplo per la Jacobiana (13. I), è doppio per P', e la Jacobiana 
è formata dalle tre rette fondamentali 1/1 2484, 114154, 11617 congiunte a sè 
stesse, insieme con una cubica Q' che passa peù 24,31, 41, 51, 61, 71, e che è la 
curva doppia. In P abbiamo tre punti fondamentali semplici 1,, 21, 31 sulla retta 
(*) Clebsch lc. 
