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fondamentale limite che corrisponde al punto 1,, e poi una cubica limite che cor- 
risponde alla cubica doppia e passa per 1,,21,3, (13. II). Le ® sono le cubiche 
che passano per 11,21, 9;, toccano la curva limite in tre punti variabili ed hanno 
un punto doppio variabile. 
La trasformazione congiunta è del 5° ordine, i punti 2/1, 31, 411,51, 61, 74 sono 
fondamentali doppî; v'è un punto doppio di P' in 1/j, el una cubica doppia. 
Prendendo i punti 2, 3, 41, 5, 61, 7 sopra una conica, la Jacobiana viene 
formata dalle tre rette fondamentali, dalla conica fondamentale, e da una retta doppia Q. 
Il punto 1’, è sempre doppio per P'. Nell’altro piano vi sono tre punti fondamen- 
tali semplici 11,21, 8, ed uno doppio 1a, la curva limite corrispondente alla retta Q' 
e una cubica che ha un punto doppio 1,, e passa per 13, 21,31, Vv è poi una 
retta limite fondamentale che corrisponde al punto 1, e contiene i punti fonda- 
mentali 1,1, 21, 31. 
Le ® sono le cubiche con un punto doppio in 19 e tre semplici in 11,721, 31; 
toccano in un punto variabile la curva limite. La trasformazione congiunta è un’omo- 
logia armonica, l'i è il centro, Q' l’asse. 
Possiamo spezzare la conica fondamentale in due rette che allora sono due rette 
fondamentali congiunte (2° specie). 
30. Prendiamo i sette punti fondamentali nei quattro vertici 1',, 2/1, 34,4 d’un 
quadrangolo e nei tre vertici 541, 611, 71 del triangolo diagonale. I sei lati del qua- 
drangolo sono sei rette fondamentali (di 3* specie), e formano la completa Jacobiana. 
In questo caso non v'è curva doppia e i quattro vertici 1’,,24,31,41 del qua- 
drangolo, tripli per la Jacobiana, sono punti doppî di 2’ (18. I). Nell’ altro piano 
abbiamo sei punti fondamentali semplici 11, 21, 31,41; 51, 61 e quattro rette fon- 
damentali limiti che corrispondono ai punti 1, 2",3/1,41, le quattro rette limiti 
formano un quadrilatero che ha per vertici i sei punti fondamentali, di modo che 
le cubiche ® sono le cabiche circoscritte ad un quadrilatero completo e dotate d’un 
punto doppio variabile. 
La trasformazione congiunta è del 2° ordine, i tre punti fondamentali sono i 
vertici del triangolo diagonale 5 6 7, e i vertici del quadrangolo sono quattro 
punti doppî per P'. 
$ 6. Soluzioni deil’equazioni (6), (7) per le trasformazioni 
deî primi dieci ordinf. 
31. Ci occuperemo in un altro studio di alcune interessanti applicazioni delle tra- 
sformazioni doppie di 2° e 3° ordine; ora poniamo nei seguenti quadri le soluzioni 
delle equazioni (6), (7) per le trasformazioni dei primi dieci ordini. 
Con ,,s indichiamo che nel piano semplice vi sono t punti fondamentali  - pli 
per la trasformazione doppia ed s-pli per la congiunta; con t, indichiamo che vi 
sono t punti fondamentali s-pli per la sola trasformazione congiunta. Uno di questi 
punti s-pli è congiunto ad una curva fondamentale di 1% specie d’ordine s, questa 
curva ha per corrispondente nel piano doppio un punto fondamentale s-plo, quindi 
chiamando fondamentali aggiunti i punti 4, , avremo: 
