— 6381 — 
Sul movimento per una linea di 2° ordine. 
Nota del Socio G. BATTAGLINI 
letta nella seduta del 3 giugno 1877. 
Nel fascicolo dei Comptes Rendus del 9 aprile del corrente anno il signor 
Bertrand ha proposto la questione: Conoscendo che i pianeti descrivono 
delle sezioni coniche, e non supponendo altro, trovare l’espres- 
sione delle componenti della forza che li sollecita, in funzione 
delle coordinate del suo punto d’applicazione. Ammettendo che la 
forza dipenda dalla sola posizione del mobile, e che la velocità nella posizione ini- 
ziale del mobile possa essere del tutto arbitraria, si dimostra che la forza accelera- 
trice deve essere centrale, e se ne trova allora facilmente l’espressione nei due casi 
notissimi, quando la direzione della forza passa per un fuoco, o pure pel centro della 
conica. Nel fascicolo seguente dei Comptes Rendus il signor Bertrand annunzia poi 
che la questione proposta è stata risoluta dal signor Darboux, quando la direzione 
della forza passa per un punto qualunque nel piano della conica. Ora in questa Nota 
ho cercato di risolvere in modo generale il problema del movimento per una linea 
di 2° ordine; il problema di sua natura è indeterminato, e non esige necessariamente 
la condizione che la forza acceleratrice sia centrale. 
Le coordinate di un punto qualunque di una conica potendo essere espresse in 
funzione di un parametro, si avranno tutti i movimenti possibili per la conica 
supponendo che quel parametro sia una funzione arbitraria del tempo: se le circo- 
stanze del movimento debbono riprodursi periodicamente, tale funzione sarà assog- 
gettata alla sola condizione di essere semplicemente periodica, il periodo essendo il 
tempo fra due successivi passaggi del mobile per uno stesso punto della curva. 
Con questa osservazione si hanno immediatamente le formole per determinare ad ogni 
istante la posizione del mobile, la velocità e l’accelerazione: la funzione arbitraria 
del tempo, contenuta in queste formole, sarà poi determinata, per mezzo dell’integra- 
zione di un’equazione differenziale, allorchè si pone una condizione alla forza acce- 
leratrice, relativamente al suo valore, o alla sua direzione. Così supponendo che, nel 
percorrere il mobile una conica, la direzione della forza passi sempre per un punto 
fisso, arbitrario rispetto alla conica, si trova che la forza è proporzionale alla distanza 
del mobile da quel punto, ed al cubo inverso della distanza del mobile da una retta, 
la quale è la polare del punto fisso rispetto alla conica; da ciò si deducono imme- 
diatamente i noti risultati, quando il punto fisso è il centro, o un fuoco della conica. 
Viceversa, prendendo ad arbitrio un punto ed una retta, si può determinare la conica 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MEMORIE — Vot. I.° 80 
