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passa pel punto a,,; analogamente si vede che la retta, 0, 02. C3 04 — A An. A3 Ax 
passa pel punto bj. Ora il triangolo A3B; 03 è anche prospettivo col triangolo A, B, O 
pel centro S;2, poichè le rette A; Ax Ag, Bi Ba Bs, 010, 0; s'incontrano in Sja, ed è 
prospettivo col triangolo Az B3 C3 pel centro S34, perchè le rette Az Ax A;, B3 B, Bs, 
C3 CC; s'incontrano nel punto $3;, mentre il triangolo Ax Ba Ca è prospettivo col 
triangolo A3 B3 C3 pel centro $,3. Ma siccome i vertici delle stesse lettere nei tre 
triangoli A; B; C;, Ax Ba Ca, A3 B3 03 sono corrispondenti e i tre centri Sia, Sz4, Sas 
stanno in una retta, cioè nella retta f, così se ne deduce che essi honno due a due 
la stessa retta di prospettiva, cioè che per i punti d’incontro delle rette Ba C, e B3 x 
ossia 033, Ax 0, e Ag C3 ossia bag e Ax B, e A3 B3 ossia cs3 passano rispettivamente 
le rette By 0, Axy, Ag Bg, ossia per quello che abbiamo visto sopra la retta 
C, (. CC, — B; B:. B3 B, e la retta C, C,.03 0, — Ax Ao. Az A, passano rispetti. 
vamente per i punti 4,3 e d33, onde le rette C, 03. C3 C, — Bi B,. Bz B, e Ci Ca. C3 C, 
— Ax Ag. Az Az che hanno in comune il punto CC». C3 C, sono rispettivamente le 
congiungenti dei punti @,1 423, di1 023. Con questa osservazione siamo ora in caso 
di dimostrare il teorema. Scelgo le tre rette 512, 523, Sai e voglio dimostrare ‘ch’ esse 
s'incontrano in un punto F. Perciò considero i due triangoli a,» @33 41 ® dia baz dai 
che hanno i vertici rispettivamente su quelle tre rette, come si scorge facilmente 
dal quadro delle rette s. Questi due triangoli sono infatti prospettivi perchè i punti 
d’incontro dei lati corrispondenti, cioè: 
a19. 073 — dio. bag = Ca; 19. da — dio. dia = C15 93. dra — bag. da 
sono situati nella retta C, C (vedasi tabella precedente dei punti «e bd). È evidente 
che anche il punto a33. @;1 — d33. dii è situato nella retta C, Ca, poichè abbiamo visto 
sopra,che le rette'a33. a;1 € das. dii non sono altro che le rette GC; C3. (30, — Bi Ba. B3 Bi, 
C; Ca. C3 C, — Ai Aa. Ag Ax che s'incontrano nel punto Ci C,. Cz Ci situato nella 
retta Ci, Co. i 
Nella stessa maniera si dimostrerebbe che le tre rette 5,9, 523, 534 S' incontrano 
in un punto, ossia nel punto F; onde è dimostrato il teorema. 
Teorema IH. Se i vertici di due quadrangoli A, By Ci Di, As Ba 0 Di 
sono allineati due a due in quattro rette con wn centro Si, quelli del 
secondo e quelli di un terzo A3 B3 (3 D3 con un centro Sa3, questi e quelli 
di un quarto Ay By C, Dj con un centro Sg, mentre questi ultimi sono alli- 
neati con quelli del primo due a due con un centrò S1, in maniera che 
i vertici delle stesse lettere siano rispettivamente allineati con i quat- 
tro centri, e se i quattro centri giaciono ìn una retta, i quattro punti F, 
che secondo il teorema TI corrispondono rispettivamente ai quattro 
gruppi di triangoli AB;C,, A»B, 0, A3 B3 03, Ax By O e Ax Bi Di, A8Ba Di ecc. 
A; C Di, Ax 0 Da ecc., Bi Ci Di, Ba € Da ecc., che risultano dai quadrangoli 
suddetti, sono situati in una retta. i 
Corollario. Se i vertici di tre quadrangoli ABC, Di, A» Bs 03 Da, 
A3 B3 03 D3 sono allineati tre a tre in quattro rette concorrenti in un 
punto S, con essi si formano quatto terne di triangoli A, Bi Ci, As Ba Ga, 
A3B3 03; Ai Ci Di, Ae Ca Da, A3,03, D3 ecc. Le tre rette di prospettiva di una 
