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due rette A Bi, AB è situato nella retta o, cioè la retta qualunque o diventa la 
retta di Pascal. Così resta dimostrato il teorema di Pascal, e quello di Brianchon per 
la legge di dualità, ove invece della trasversale o entra un punto 0 qualunque di 
projezione. 
Teorema V. Un esagono è inscritto in una conica quando i tre punti 
d'incontro delle tre coppie di lati opposti sono situati in linea retta('). 
Teorema VI. Un esagono è circoscritto ad una conica quando le tre 
rette di congiunzione delle tre coppie di vertici opposti s’incontrano in 
un punto (°). 
3. Con sei punti di una conica si ottengono 1.2.3.4.5.6 esagoni, ciascuno dei 
quali si ripete dodici volte, perchè se noi consideriamo ad esempio l’ esagono 
123456, vediamo ch’esso ha per lati le rette 12,23,34, 45,56,61, e che gli esa- 
goni 234561, 345612, 456123, 561234, 612345, 654321, 543216, 432165, 
321654, 216543, 165432 hanno precisamente gli stessi lati; per la qual cosa 
con 6 punti di una conica si ottengono sessanta esagoni differenti e perciò sessanta 
rette di Pascal dotate di molte interessanti proprietà. Le rette che congiungono i sei 
punti della conica due a due, che noi chiameremo latiì fondamentali, sono quindici, 
ciascuno di questi lati viene incontrato dagli altri in quattordici punti, otto dei quali 
cadono quattro a quattro nei due punti fondamentali (così si chiamano i sei punti 
della conica) situati in esso; gli altri sei rimanenti siano chiamati punti P. In tutto 
l’esagrammo adunque questi punti P sono quarantacinque. 
Consideriamo ora i tre triangoli seguenti: 
12,94,56: 45,61,23; 36,25,14 
i cui lati sono lati fondamentali dell’esagrammo. Questi tre triangoli sono due a due 
prospettivi p. es. il primo e il secondo hanno per retta di prospettiva la retta di 
Pascal dell’esagono 123456; infatti questa viene determinata dai punti 12.45,23 
56,34.61 che sono precisamente i tre punti d’incontro dei lati corrispondenti dei 
due triangoli. Dunque le rette che ne congiungono i vertici corrispondenti, cioè le 
rette di Pascal dei tre esagoni 163452, 123654, 143256 s'incontrano in un 
punto G chiamato punto di Steiner (*). È facile di vedere che queste tre rette di Pa- 
scal passano anche rispettivamente per i tre vertici del terzo triangolo, infatti. tro- 
vando i punti P di queste rette nella stessa maniera con la quale abbiamo trovato 
i punti P della retta di Pascal dell’esagono 123456, si vede che i punti 36.25, 
36.14,25.14 sono rispettivamente punti P delle rette di Pascal suddette. Le tre 
rette di prospettiva dei tre triangoli sopra indicati, presi due a due s’incontrano in 
un altro punto G, e sono le rette di Pascal dei tre esagoni 123456, 143652, 
163254. Se noi consideriamo la terna dei primi tre esagoni cioè 1€3452, 123654, 
143256 noi vediamo che il secondo ed il terzo si ottengono dal primo scam- 
biando in modo ciclico le cifre in posto pari mentre rimangono fisse in tutti e 
tre le cifre in posto dispari, che sono 135. Ora uno dei tre ultimi esagoni cioè 
!) Pascal, Essai pour les coniques. 1640. 
) Brianchon, Mémoîre sur les lignes du 2° ordre. 1808. 
) Steiner, System. Entw. der ADR. geom. Gestalten. pag. 311, 
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