— 673 —+ 
nè la conica ideale di Hesse, rispetto alla quale î punti di Kirkman siano poli delle rette 
di Pascal, nè la correlazione di Schròter fra questi punti e queste rette ('). Con ciò 
è dimostrato pure che le sei figure x formano 6 sistemi polari differenti. 
Abbiamo detto che i lati dei due triangoli plj35 Pigi PPuss Psi P35 Das 
appartengono ai lati dei due quadrilateri delle due figure 7 del teorema XXII ossia 
Pisa PI195 Pas Pass > PU33 PUr34 Pres PUg45 
i cui lati passano due a due per i quattro punti G della retta gi»: con questi qua- 
drilateri adunque possiamo formare quattro coppie di triangoli, una delle quali è p. es. 
la coppia di triangoli sopra considerata cioè 
Piga Phiss Phias » PU195 Paga Pass 
e siccome abbiamo osservato che il centro di prospettiva di questi triangoli è il 
punto Z!,,, corrispondente alla retta p1!3,; che è una delle quattro rette determi- 
nate dalla I e II figura, così vuol dire che i quattro centri di prospettiva delle quattro 
coppie corrispondono alle rette p!liz,z, pIVis3, pVias, PW; ossia sono i punti Z!y,,, 
DVi,00 245,00 1V35,,. Al punto Z, e K che corrispondono nel modo indicato alla 
stessa retta di Pascal diamo gli stessi indici. Il, che è la terza cifra dell’indice di 
ogni punto Z indica che i punti Z appartengono ad un secondo sistema di cui ora 
studieremo le proprietà. Di più abbiamo sopra osservato che le rette che congiun- 
gono i vertici corrispondenti dei due triangoli p'134 PI135 Das + 2135 PU1sg PU SONO 
tre delle sei rette v,, delle due figure I e IT, dunque vuol dire che ciò varrà anche 
per le altre tre coppie di triangoli. Se per la combinazione delle due figure I e Ti 
si hanno quattro punti Z,, in tutto l’esagrammo saranno questi punti 60 e saranno 
situati due a due nelle rette v,,. Dunque: 
Teorema XXIV. Le sei rette v,, che passano peri vertici del trian- 
golo A;, di due figure 7 s’incontrano tre a tre in quattro punti “Z, ” 
di un quadrangolo.I punti “Z, , sono sessanta in tutto l’esagram- 
mo. Due a due sono situati nelle rette v,,. 
Osserviamo che ì quattro punti P d'incontro di un lato p. es. 12 del triangolo A» 
con le quattro rette del quadrilatero pIg3; P135 PUus 235 ovvero del quadrilatero 
Pisi P'135 P'345 Pu e i due vertici P_del triangolo A, formano un’involuzione 
ove al punto 12.34 corrisponde il punto 12.56, al punto 12.36 il punto 12.45 ecc. 
(vedi fig. 3) onde i quattro punti P situati in un lato del triangolo A,, di due 
figure, esclusi però da questi i vertici di esso, e i due punti d’incontro con gli 
altri due iati o con uno dei due lati e con la retta di Steiner-Pliicker g,, for- 
mano tre coppie di punti in involuzione. Così pure i quattro punti di Steiner 
della retta g,, con i tre punti d'incontro di essa con i tre lati del triangolo A, 
presi due a due, formano un’ involuzione ; per dimostrar questo basta consi- 
derare p. es. il quadrangolo 12.86, 12.46, 34.15, 34.25 le cui coppie di lati opposti 
sono 12, 34; p!315 Pigi, Plus Pisa la prima coppia ci dà sulla retta 91, i punti 
d’incontro dei lati 12 e 34 del triangolo Ai, e le altre due coppie ci danno i punti 
Gig G125, Giag G123. Analogamente si dimostra che i punti G della retta 91, accoppiati 
negli altri due modi possibili ci danno altre due involuzioni a cui appartengono 
(!) Hesse, Vol. 68 di Crelle pag. 193 e Schréter, Steinemsche Vorlesungen, Neue Aufl. pag. 217-218, 
