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s'incontrano inun punto È, itre punti corrispondenti Y sono situati 
inunaretta a. 
Ne possiamo anche concludere: 
Teorema XLVIII. I sessanta punti Z, elesessanta rette z, formano 
in guisa dei punti K e rette p, dei punti Z, e rette z, sei figure 7°, 
che appartengono a sei sistemi polari. 
I purti di Steiner e di Salmon, le rette di Cayley-Salmon, di 
Steiner-Plicker sono comuni ai tre sistemi [Kp] [Zz), [Zz],. 
19. Andando innanzi bisogna vedere se abbiamo altri sistemi [Zz] vale a dire 
se il sistema .[Zz) si chiude in se stesso, o se dà luogo ad un quarto sistema, come 
il primo ha dato luogo al secondo, e il secondo al terzo. 
Per passare dal primo al secondo abbiamo considerato i triangoli 
KI3 KU K0y, 5 Kg Ki Kg 
ed abbiamo visto ch’essi non sono prospettivi pel punto K!;,, ma bensì pel centro 
Zi, che abbiamo fatto corrispondere alla retta p!x,; (vedi num. 10). Per passare 
invece dal secondo al terzo abbiamo considerato i triangoli 
3Haig,, 2Uagg, SUagsi, > 3lags,a 20235), 2°234,, (vedi num. 16) 
prospettivi, non per la retta 2!3,y,,, ma bensì per la retta z13,3,,, che abbiamo fatta 
corrispondere al punto ZU, ; però la vera corrispondenza polare ha luogo solamente 
fra i punti Z e rette z delle 6 figure 7 di un medesimo sistema, noi abbiamo sta- 
bilito delle corrispondenze momentanee fra i punti e rette dei tre sistemi fin qui 
trovati appunto per ricavare la legge di formazione dei diversi sistemi. Ora adunque 
per vedere se il sistema (Zz], dà luogo ad un quarto sistema bisogna considerare i 
triangoli 
713,3 Z5,3 Zlti,gs Zig, Zhoa Zt5,a 
e vedere se sono prospettivi o per il punto Zi», ovvero per un altro punto. Qui la di- 
mostrazione non è così facile come per i due primi casi ed ecco perchè abbiamo stabilita 
una certa corrispondenza tra i punti K e le rette z, tra le rette p e i punti Z,, tra le 
rette z, ei punti Z,, tra le rette v,, e i punti V,, , tra i punti Y e le rette y (vedi alla 
metà del num. 18.) Nella retta y,, giace il punto P3;.6g ed i punti V35,62,3 © V'35.62,:a 
dunque si crederebbe che i punti Z, corrispondendo alle rette p dovessero esser situati 
quattro a quattro in quarantacinque rette corrispondenti ai punti P, ossia che i trian-. 
goli suddetti fossero prospettivi pel centro Z!!,, ,. Le figure corrispondenti così sta- 
bilite non differiscono che in questo, che nella retta 71, esiste veramente il punto 
P33.6°, mentre noi non siamo certi che le rette ZVa;, ZVI;,, = 026.35, 0 45, 
ZU3,, =V26.35,,, cadano insieme ed è mediante il punto Pz; 6a che noi dimostre- 
remo che ciò non può aver luogo. 
Se ciò avesse luogo allora i 60 punti Z, sarebbero posti quattro a quattro in 
quarantacinque rette, e perciò i due triangoli suddetti di punti Z, sarebbero prospettivi 
per il punto Zi, ,. Mi pare anche che senza la considerazione dei punti P, o ciò 
che è lo stesso dei 6 punti fondamentali della conica, non si possa fare questa dimo- 
strazione, almeno con gli elementi che abbiamo sin qui trovato. Perchè se sì potesse 
fare la dimostrazione che le rette v,, suddette non cadono insieme senza i punti P, 
allora per la corrispondenza stabilita si potrebbe dimostrare che le rette di Pascal pVia5 
