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adoperare la dimostrazione analoga data pei punti Z, al num. 11 dove invece dei 
punti K entrano i punti Z,; 3° che le rette z, s'incontrano tre a tre nei venti punti 
di Steiner basta adoperare la dimostrazione duale a quella data alla fine del num. 18 
per dimostrare che i punti Z, sono situati nelle venti rette di Cayley-Salmon, dove 
invece dei punti V,, entrano le rette 0, e invece dei punti P le rette ®,,, ed in- 
vece dei punti G le rette c, e finalmente invece dei punti & le rette c. 
20. Ottenuto così il quarto sistema [Zz],, dobbiamo esaminare se i triangoli 
21,5, 3! 
236, 2Mag5,,3 Zia, Saas, 2204, 
sono prospettivi per la retta 213,;,, ovvero per un’ altra retta, e qui possiamo ri- 
petere le stesse osservazioni fatte al num. 19. La dimostrazione è analoga a quella 
data per le rette z,, num. 16, dove in luogo dei punti V,, entrano ora i punti V,,; 
onde i due triangoli suddetti sono prospettivi per un’altra retta 213,z,,. Chiameremo 
V,, î 90 punti nei quali s’ incontrano due a due le sessanta rette z, con le sessanta 
rette z,, a guisa delle rette z, e z,, e chiameremo ®,, le 90 rette nelle quali sono 
situati due a due i punti Z, e i punti Z,, nello stesso modo che i punti K e Z, sono 
situati nelle rette v,,. Le rette v,, passano rispettivamente due a due per i quaran- 
tacinque punti Y e i punti V,, sono situati due a due nelle 45 rette y. I punti V,, 
godono delle stesse proprietà enunciate pei punti V,,, cioè le coppie di punti P3g.14 
Sag, Vacanis V36.14, formano un gruppo armonico ossia le coppie di punti V36.11,3s 
Vscassso Vo, V36.16,,3» formano un’involuzione i cui punti doppi sono i punti 
P35.1, ed Sag, ossia le coppie di punti ZVI,g., ZViyz,,, 2V45,, 25, nella retta di Cayley- 
Salmon c23g (vedi fig. 4) formano un’involuzione i cui punti doppi sono KVIxz, S23; 
dunque se il punto ZV,;, è situato fra i punti KVI,z, ZV4g,, (vedi fig. 5), allora 
il punto ZVI,;, sarà compreso entro il segmento KVI,; ZVi,,, e perciò fuori del 
segmento Gyiz ZVI,;.,, poichè le coppie ZVIg, Zoo ZU, 4, non possono 
separarsi. Se le rette ZVI,;, ZV3i; 2g, 23, cadessero in una sola retta 026.35,50 
allora questa retta a guisa del punto Ps5.35 dovrebbe essere il quarto raggio armo- 
nico della retta g,, rispetto alle rette 026.35,13> V26.35,1a ed alle rette 026.353, V'26.35,5, 
intorno al punto Y',; ('). Tagliando questo fascio con la retta caz, si avrebbero le 
coppie di punti ZVI,;,, EV, Zig, 24, in un’involuzione avente per punti doppi 
i punti ZV,;,,, Gus, i quali dovrebbero separare necessariamente le coppie suddette; 
ma mentre i punti ZV,;,, Gis possono separare la coppia ZV,z,, KV5, come ab- 
biamo già supposto, non separano però la coppia ZVI,;,, ZVl;,, come abbiam3visto 
di sopra, onde non può essere che la retta v26.35,;5 Cada con la retta 026.335,56 vuol 
dire adunque che i triangoli 
29, 415,8, Za Zog Zia Za 
(') Per dimostrare che le rette DN 45,5 I° 34,5> 4045, 734, passano pel punto Y',4 basta fare 
le stesse considerazioni che abbiamo fatte al num. 18 per dimostrare che le rette Dt 45.3 1° 34,9; ZU gs, 
Zu 34,3 passano per lo stesso punto Y',j. Per dimostrare che se le due rette suddette cadessero insiem e 
esse formerebbero con la retta g,y una coppia di raggi conjugati armonici rispetto alle rette vog:35 
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V'26:35,,9 basta far corrispondere i punti Z5 ai punti K e i punti Z, alle rette 2, e i punti Z3 alle 
rette z; (vedi fig. 4). 
