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dato 0; oppure riesca parallelo ad una direzione data d. Si facciano tre tentativi del 
quarto lato: tali siano A Ap, B Bi, CC; si costruisca il fascio N (41, Bi, 1, ....)= D 
(Ao, Bo Co-----); le rduelserie 4,18) Ci... e 41, B1, C,, .... sono manifestamente projet- 
tive. Affinchè un tentativo soddisfi, per es. Ao, è necessario che coincidano A ed A;; 
basterà dunque cercare ì punti uniti, come mostra la figura; di essi, / risolve il problema. 
Però giova notare, che, nel caso in cui il punto 0, sia all’ infinito sulla dire- 
zione d, le due serie projettive A, 8} C...... 5 Ala Bars 19 co or considerate sono in 
involuzione. Difatti, se A Ag si sposta a distanza infinita, il raggio 2 Ay riesce pa- 
rallelo ad MN, ed il raggio parallelo a questo condotto per N è NO, e così 0 
corrisponde al punto all'infinito della punteggiata 0 D; fatta passare la 44, per 0 il 
raggio per D parallelo ad N 0 determina ancora il punto all’infinito di MN, epperò 
anche di 0 D, e così fra O e il punto all’infinito di 0 D esiste la doppia corrispon- 
denza; dunque basteranno due soli tentativi ed un punto doppio risolve il problema. 
Anzì, essendo 0 il centro dell’involuzione, ogni qualvolta esso cada non molto lontano 
si potrà applicare una costruzione ancor più semplice, l’equazione dell’involuzione, cioè: 
tirata N 0; parallela alla direzione d, saranno D e Di due punti conjugati, onde: 
oF-0D.0h: 
e sì determina / con una semplice media geometrica come mostra la figura. 
Se O si allontana fino all'infinito, basta pel punto di mezzo di N D tirare la 
parallela alla direzione data d e si ha completato il quadrilatero D MA, che risulta 
un trapezio. È 
I due fasci N(A4,, B;, €41; ....) € 0; (A, B, €, ....) projettivi generano un’ iper- 
bole, che tocca in N il lato ND del triangolo. Quando £ # ossia la direzione data 
d sia parallela ad M D, allora D N si mantiene tangente alla conica in N, D M diventa 
un assintoto ‘e MN parallelo all’alto. 
18. Chiudere una spezzata A BCDEP..... (Fig. 35) con una retta passante per 
l'origine A e per modo che la superficie racchiusa riesca equivalente ad un trian- 
golo dato. Basta applicare la costruzione inversa di quella (n. 7) che valse a trasformare 
un poligono in un triangolo: Si ridurrà il dato triangolo ad avere per base il primo 
lato A B della spezzata, indi se ne projetterà il vertice opposto sul secondo lato B € 
della spezzata in M parallelamente al primo lato 48; poscia questo vertice M sul 
terzo lato C 0 parallelamente alla diagonale AC, e questo nuovo vertice N sul quarto 
lato DE parallelamente alla diagonale A 2; e così continuando si projetterà il vertice 
ottenuto P sul quinto lato # parallelamente alla diagonale successiva A Y, finchè 
il nuovo vertice / non cada più sul prolungamento dei lati della spezzata. Sarà 
allora ABCDEF la superficie poligonale equivalente al triangolo dato. 
Può avvenire, che un lato, per es. € D (Fig. 36) della spezzata passi per l’ori- 
gine A; in tal caso, essendo il triangolo 48M equivalente al dato, projettato M 
su BC in N parallelamente ad A, la projezione di N su CD e da farsi parella- 
lamente alla diagonale 4 cade all'infinito di € 2. Si trasformi allora il triangolo 
ACN nell’altro AD come mostra la figura; dopo di che si procede come prima; 
cioè: projettato Yin X su D # parallelamente alla diagonale A4 2, indi X in su £ 
