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Se per l’incontro delle mediane si tirano le parallele ai tre lati di un triangolo, 
esso risulta diviso in tre trapezi equivalenti. 
21. Divisione dei quadrilateri. — a) Si divide un parallelogrammo in due 
parti equivalenti con una retta passante per un punto dato o parallela ad una dire- 
zione data, congiungendo il punto dato con quello d’incontro delle diagonali, o per 
questo, tirando la parallela alla direzione stabilita. 
b) Per dividere un trapezio A B € D (Fig. 44) in due parti di rapporto dato 
mediante una retta passante per un punto qualunque Po parallela ad una direzione 
arbitraria d e sotto condizione che la dividente si appoggi sui due lati paralleli del 
trapezio, si tracci una retta £ £, che divida il trapezio in due parti aventi il rapporto 
stabilito e per questo basta che essa passi pel punto di concorso di DA e di CB e 
divida il lato € 2 nello stesso rapporto. Risolve allora il problema la dividente G P, 
che passa pel punto di mezzo 0 della £/ e pel punto dato P, ovvero la /#X che 
passa pel punto 0 ed è parallelo alla direzione d. Se le due parti devono essere equi- 
valenti la retta E diventa la mediana del trapezio ed il problema ammette una 
soluzione unica. 
c) Divisione di un trapezio in due parti aventi fra loro un rapporto dato 
mediante una retta che abbia la direzione de’ suoi lati paralleli. 
Sia ABC D il trapezio dato (Fig. 45); lo si trasformi nel parallelogrammo 5y 2 
e questo nell'altro 48 B, Dj. Di quest’ultimo si divida il lato A D, in due parti A 4, 
HD, aventi fra loro il rapporto dato; allora il parallelogrammo 5 # risulta equiva- 
lente ad una delle parti, in cui si vuol dividere il trapezio dato. Si tracci ora una 
retta qualunque MM parallela ad AB qual tentativo per dividere il trapezio; perchè 
soddisfi bisogna che il triangolo B X M sia equivalente al parallelogrammo X 7, ossia 
al triangolo X M, Mi, essendo 0 il punto di mezzo di 77 ;. Allora sì ha un quadri- 
latero intrecciato BM M, My, che deve essere di area nulla; cioè tirata My M' parallela 
a B My, devono coincidere i due punti M e M'. Fatti due altri tentativi restano indi- 
viduate sulla BC due punteggiate projettive. Inoltre, se si fa coincidere un tentativo 
con BA e si trova di B il punto corrispondente B'", si riconosce fra essi facilmente 
la doppia corrispondenza. Le due serie essendo adunque in involuzione basteranno 
due soli tentativi per avere un punto doppio /, che risolva il problema come mostra 
la figura. E se il centro dell’involuzione V cade entro i limiti del foglio potrà bastare 
un tentativo solo. I due fasci, quello dei raggi M M e quello dei raggi M M' generano 
un’iperbole che passa per Y, M,.....; ed ha per assintoti A B e la simmetrica di B B, 
rispetto a VD. 
Si può procedere anche nel modo seguente: Si descriva un. semicircolo di dia- 
metro V D; si faccia VAN= VA e si cali su VD la perpendicolare Ag £; si divida L D 
come si vuol dividere il trapezio per es. per metà in 0; si elevi da Q la perpen- 
dicolare 0 0a VD e sarà YOo= VA. Infatti sta: 
Rive vB ez 10 ED ETTI 
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Se il vertice V cade fuori del foglio si opera sul lato CD. Descritto il semi- 
circolo C/ D si projetti B in B, parallelamente ad A D e si descriva l’arco 8 Ly' 
