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Sulla risoluzione delle congruenze numeriche, e sulle tavole 
che danno i /ogaritmi @ndici) degli interi rispetto ai varì moduli. 
Memoria del Socio corrisp. prof. G. BELLAVITIS 
letta nella seduta del 3 giugno 1877. 
1. A risolvere le congruenze binomie gli indici servono nello stesso modo che 
i logaritmi valgono per le equazioni binomie; ed anzi quelli sono più indispensabili, 
giacchè le estrazioni di radici possono eseguirsi mediante un’operazione aritmetica, 
mentre nella teoria dei numeri interi, se non si abbiano le tavole degli indici, biso- 
gna ricorrere a nojosi tentativi. Al nome insignificante d’indice io preferisco quello 
di logaritmo. Furono già calcolate parecchie tavole di questi logaritmi; quella del 
Gauss si estende fino al modulo 97; il Canon arithmeticus del Jacobi va fino al 1000, 
ma quest’opera è pochissimo comune; l’Hoiel pubblicò (Mém. de la Soc. des sciences 
de Bordeaux III) ed anche separatamente (Paris, 1866) alcune tavole che vanno fino 
al modulo 199, ed altre fino al 347. 
2. Il Gauss aveva già osservato che mediante un breve calcolo potevano tener luogo 
delle tavole dei predetti logaritmi gli sviluppi in frazioni decimali periodiche di alcune 
frazioni aventi per denominatore il modulo di cui si tratta. Qualunque sia la base 
del sistema numerico che si adopera, è sempre Io stesso il numero totale delle cifre 
delle frazioni periodiche; perciò io trovo molto preferibile ad ogni altro sistema nu- 
merico, il sistema binario, che ha per base il 2, e quindi è formato colle sole 
cifre 1, 0; con questo sistema ho calcolato le frazioni contenute nella Tavola I, che 
ho esteso alquanto di più delle tavole dell’ Hoiiel e di cui sono molto più semplici 
e più comode. 
3. Pel modulo 13 la frazione È si sviluppa nella frazione binaria 000100 mori, 
che per brevità io scrivo così, RIE, i numeri 3 1 2 indicano quante delle ci- 
fre 0 1 (poste al di sotto di ciascun numero) si deggiono ripetere per formare la 
frazione binaria, la quale, come è ben noto, equivale alla somma delle frazioni TG 
Linelogl 1 
RA o si . Sa N di6, 
128 250 512° 2048" ecc. Se rispetto al modulo 13 si voglia il logaritmo 
bisognerà sviluppare in frazione binaria la frazione 13: ciò potrà farsi nel modo 
