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Le funzioni metriche fondamentali 
negli spazì di quante si vogliano dimensioni e di curvatura costante. 
Memoria del prof. ENRICO D'OVIDIO presentata dal Socio CREMONA 
nella seduta dell’8 aprile 1877. 
PROEMIO. 
In alcuni miei precedenti lavori sulla Geometria metrico-projettiva (‘) si trova in 
sostanza esposta la teoria delle funzioni metriche negli spazî di tre e cinque dimensioni e 
di curvatura costante, e in alcuni spazî di quattro, otto e nove dimensioni originati da 
quelli di tre e cinque dimensioni. Ma la teoria è in quei lavori applicata esclusivamente 
a de’casi nei quali essa è capace di ricevere una rappresentazione geometrica mediante 
l’ordinario spazio di tre dimensioni e i complessi Pldickeriani. Ora nella presente Memoria 
io mi propongo di estendere i risultati ottenuti negli accennati casì particolari, in modo 
da formare una teoria delle funzioni metriche in uno spazio di quante si vogliano 
dimensioni e di curvatura costante. Una simile teoria non mi sembra sia stata data 
sino ad oggi (°), e d’altra parte essa costituisce il fondamento più naturale di ogni 
ulteriore ricerca intorno a un argomento così importante com’ è quello degli spazî 
di più dimensioni. 
Oso sperare che questi miei studî saranno benignamente accolti da’ geometri; 
tanto più che io ho cercato di mettermi alla portata anche di chi sia nuovo all’ar- 
gomento, senza tuttavia molto insistere sui particolari, e senza entrare nella parte 
storica che mi avrebbe menato troppo lontano. 
Accenno in brevi tratti il contenuto de’ singoli paragrafi : 
Ne’ $$ I a V sono date le definizioni di uno spazio o varietà di un numero 
qualunque di dimensioni, e dei punti e multipunti, piani e multipiani ad esso subor- 
dinati, cioè delle forme fondamentali di uno spazio di più dimensioni. Indi sono 
(!) Cfr. Studio sulla Geometria projettiva (Annali di Matematica, serie II t. VI). — / complessi 
e le congruenze lineari in Geometria projettiva (ibid. t. VII). — Alcune proprietà metriche de’ complessi 
ece. (Atti della Reale Accademia dei Lincei, serie II t. III). — Le reti di complessi lineari nella Geo- 
metria metrico-projettiva (ibid.). — Le serie triple e quadruple di complessi ece. (ibid.). — Le projezioni 
ortogonali nella Geometria metrico-projettiva (Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino, Vol. IX). — 
Alcuni luoghi e inviluppi ecc. (Rendiconto dell’Accademia delle Scienze di Napoli, 1875). 
(2) La pregevole Memoria del sig. C. Jordan: Essai sur la Géométrie è n dimensions (Bulletin 
de la Société math. de France, t. III 1875) non si riferisce a uno spazio qualunque, ma solo a quello 
che potrebbe dirsi euclideo. Oltreacciò essa differisce essenzialmente dal presente scritto anche nel 
metodo di ricerca, avendo io posto a base della determinazione delle funzioni metriche, così in questa 
come nelle precedenti pubblicazioni, i concetti della dualità e della projettività, de’ quali non si 
riscontra alcuna traccia nella Memoria del sig. Jordan. 
