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esaminati i casi in cui due multipunti hanno punti comuni ovvero appartengono a uno 
stesso multipunto, e sono trattate delle quistioni relative alla intersezione de’ mul- 
tipunti. È altresì determinato l’ordine d’infività del numero di punti, bipunti, ecc. 
contenuti nel proposto spazio; come pure di quei punti, bipunti, ecc. che son con- 
tenuti in un dato multipunto o passano per esso. Le stesse considerazioni sono applicate 
con legge di dualità a’ multipiani. 
Nel $ VI son definite le coordinate omogenee de’ multipunti, de’ multipiani e 
de’ piani; e nel $ VII sono esposte le relazioni (quadratiche ed omogenee) che passano 
fra le coordinate di uno stesso multipunto 10 multipiano. Nel medesimo $ VII si 
trovano le relazioni che devono passare fra le coordinate di due multipunti o multi- 
piani, perchè essi abbiano un punto o multipunto, ovvero un piano o multipiano, comune. 
Nel $ VIII apparisce per la prima volta quella forma quadratica che servirà a 
definire la distanza fra due punti, e che per brevità chiamiamo coll’ illustre Cayley 
l’assoluto de’ punti. Ivi è altresì considerata la sua forma reciproca, non che due 
sistemi di forme quadratiche reciproche ciascuna a ciascuna, le quali adempiono un 
rilevante ufficio nelle relazioni metriche fra multipunti e multipiani. Nel $ IX poi, 
oltre a molte relazioni fra tali forme, è introdotta la nozione di multipunti conjugati 
fra loro rispetto all’assoluto. 
Il $ X tratta di quella funzione delle coordinate di due punti (e de'coefficienti 
dell’assoluto) che riceve il nome di distanza fra due punti. Ivi è pure definita la mutua 
ortogonalità possibile fra due punti. 
Nel S XI è fatto cenno dell’ortogonalità semplice, doppia, .... perfetta fra due 
multipunti; ed è mostrato quanti gruppi di due o più punti mutuamente ortogonali 
esistano in un dato multipunto, e quanti gruppi di n vunti siffatti esistano nel pro- 
posto spazio di n—1 dimensioni. 
Ne’ $$ XII e XIII si definisce la perpendicolarità semplice, doppia, .... di due 
multipunti, e si determina accuratamente il numero e le proprietà delle rette (bipunti) 
perpendicolari simultaneamente a due dati multipunti. Nel seguente $ XIV si tratta 
della projezione di un punto o multipunto sopra un multipunto. 
Nel $ XV è stabilita la nozione importante delle varie distanze fra due mul- 
tipunti. I SS XVI e XVII contengono la ricerca delle espressioni del momento e 
del comomento di due multipunti, i quali non sono altro che il prodotto de’ seni e 
il prodotto de’ coseni delle varie distanze fra due multipunti. I seguenti $ XVIII 
e XIX forniscono le espressioni di altre funzioni delle dette distanze, funzioni che 
posson chiamarsi momenti e comomenti de’diversi ordini (il momento e il comomento 
propriamente detti sono quelli dell’ordine più alto). Dopo questo è facile formare le 
equazioni che hanno per radici i seni o i coseni delle varie distanze fra due multipunti. 
Lo studio de’momenti e comomenti è poi ripreso nel $ XXII, dove essi sono 
espressi mediante le coordinate de’ due multipunti, mentre prima erano espressi solo 
mediante le coordinate de’ punti che individuano i multipunti medesimi. 
Nei $$ XX, XXI e XXIII è posta maggiormente in luce la perfetta dualità che 
sussiste fra le proprietà de’ punti e de’ piani, de’ multipunti e de’ multipiani, Ivi è 
spiegata la nozione di angolo fra due piani e quella de’ varî angoli fra due multipiani; 
ed è mostrato come questi angoli non differiscano dalle distanze prima considerate. 
