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Oltreacciò sono definiti e studiati partitamente l’assoluto de’ piani e gli assoluti delle 
varie classi di multipunti e di multipiani. 
Nel $ XXIV è definita l'ampiezza di un gruppo di punti o di piani (in esten- 
sione de’ comuni concetti di area, volume ecc.); e vi sono raccolti non pochi teoremi 
relativi alle ampiezze, i quali costituiscono la generalizzazione delle più note e im- 
portanti proposizioni della comune trigonometria piana e sferica e della comune 
tetraedrometria. Col sussidio di questi teoremi si rende possibile di usare talvolta, 
nello studio degli spazî di molte dimensioni, un processo di deduzione che fa riscon- 
tro a quello che governa il cosidetto metodo sintetico della Geometria ordinaria. 
Nello stesso S trova luogo la relazione fra l'ampiezza di un dato gruppo di punti 
e quella della sua projezione sopra un altro dato multipunto. 
Nel $ XXV è accennata una interpretazione metrica delle coordinate di punti 
e piani, multipunti e multipiani; il che conduce a nuove forme delle espressioni 
de’ momenti e comomenti, e ad una relazione quadratica ma non omogenea fra le 
coordinate di un multipunto. Sono poi date le formole per la trasformazione delle 
coordinate; ed è fatta menzione del caso che, invece di un dato gruppo di punti, si 
assuma come fondamentale quello individuato da’piani rispettivamente conjugati 
a’'detti punti. È notevole il caso che il secondo gruppo coincida col primitivo. 
Nel $ XXVI sono definiti i parallelismi dei diversi ordini, possibili fra due 
multipunti; ed è mostrato quali e quante delle distanze fra due multipunti svaniscano 
in tal caso, e come si determinino le distanze che rimangono. Accanto a’ multipunti 
paralleli sono poi considerati quelli ai quali non disdice la denominazione di antipa- 
Yalleli. Le medesime cose sono applicate con piena dualità ai multipiani. 
Nei $$ XXVII e XXVIII è discusso il caso in cui il discriminante dell’asso- 
luto de’ punti sia supposto nullo; caso notevolissimo, poichè concorda, mutati i nomi, 
con quello dell’ordinario spazio euclideo quando n=4. Allora la dualità, che sussi- 
steva in generale fra gli elementi punto e piano, viene in parte a mancare; e l’an- 
golo di due piani riesce sempre nullo. Ma si può all'angolo sostituire un'altra 
funzione non evanescente, alla quale è lecito attribuire lo stesso. nome di angolo. 
Una cosa simile può dirsi dell’ampiezza di un gruppo di piani. 
Inoltre, l'assoluto de’ punti attualmente risulta composto di tante rette uscenti 
da un medesimo punto, detto principale, che è ortogonale a tutti i punti dello spazio. 
E l’assoluto de’ piani consta di due volte l'insieme de’ piani che passano pel punto 
principale. 
Delle distanze fra due multipunti una in certi casi si annulla, ma può esser 
supplita dall’angolo (nel senso testè additato) fra due piani determinati; ed è facile 
trovare ‘il valore così di questo angolo come delle rimanenti distanze. 
Finalmente è fatto cenno del caso di due multipiani paralleli, ossia di due 
multipunti antiparalleli. Allora una delle distanze si annulla, ma ad essa sottentra un 
angolo; al modo stesso come nell’ordinaria Geometria due rette convergenti o due 
piani ammettono generaimente un angolo, il quale nel caso del parallelismo si annulla, 
ma è supplito dalla distanza fra le due rette o i due piani. 
Dopo aver applicato la teoria geuerale delle funzioni metriche al caso che il 
discriminante dell’assoluto de’punti sia nullo, sarebbe stato naturale di applicarla 
