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dell’ rpunto, se fosse nullo il determinante dei rispettivi Paranie tre 
E starebbero in uno stesso (r — k)punto se fossero nulli i minori d’ordine 7 — k+ I 
del detto determinante, il c he darebbe (e) condizioni riducibili a È. 
In un rpunto si trovano infiniti (r — 1)punti, (r — 2)punti, ..., 2punti: l'ordine» 
d’infinità per ciascuna serie sarà determinato fra poco. 
Fra i multipunti va annoverato l’Ipunto o punto semplice; il 2punto o bipunto, 
che chiameremo anche retta; ...; 1’ (n — 1)punto, che diremo anche piano. L’npunto 
non è altro che tutto lo spazio proposto. 
È importante osservare che le coordinate di ciascun punto X di un dato 
r-punto soddisfanno a n —r equazioni lineari omogenee distinte, le quali si otten- 
gono eliminando A, X,.... dalle n equazioni (1), e posson chiamarsi le equazioni 
dell’r-punto. Siano tali equazioni 
EXi+...+ &,a=0, E Xii... PENA 0 
è chiaro che ad esse si potranno sostituire delle altre della forma 
QEr+ XE + Ut NE ee =D 
(uZit pigli +) (nt Ent 0, 
purchè il determinante £ =)... non sia nullo. 
Viceversa, è punti, le cui coordinate soddisfanno a un certo numero 1 di equa- 
zioni lineari omogenee distinte, costituiscono un (n —r)punto. 
Così, un piano o (n —1)punto ha una equazione; e, viceversa, una equazione 
rappresenta un piano. 
Un rpunto è dunque composto dei punti comuni agli n—r piani corrispon- 
denti alle sue equazioni, e quindi comuni a tutti gli oo"! piani le cui equazioni 
si formano combinando linearmente le medesime come pocanzi. L’ rpunto, considerato 
come intersezione o inviluppo di tutti questi piani, sarà chiamato un (n — r)piano. 
P. es. una retta è un (n — 2)piano; un punto un (n — 1)piano. Quando n è pari 
3 3 D x (VACRO 
vi sono gli g Punti, che sono al tempo stesso piani. 
I multipunti e i multipiani costituiscono le due serie di forme fondamentali, corrì- 
spondenti per dualità ciascuna a ciascuna, nello spazio di cui ci occupiamo. Il bipunto 
(vetta) e il bipiano sono di prima specie, il tripunto e il tripiano di seconda specte; 
e così di seguito ('). 
S III. INTERSEZIONI DI MULTIPUNTI. 
Consideriamo un rpunto R e un rpunto R'. Se 0, 0%,...,001) 04,y,.y 071) 
sono punti individuanti rispettivamente R e R', sarà \v PX +... + er ea, 
un punto qualunque di R e uy +1 +...+ p("4) y(#2) un punto qualunque 
di R'; e perchè coincidano questi due punti dovranno verificarsi le n equazioni 
\xr+ Na+ ce UU PiYa - e 
(1) Cfr. Clebsch: Veber cine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie (Abhandlungen der k. 
Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, Bd. XVII-1872, $ 1). 
La nomenclatura del Clebsch è alquanto diversa dalla nostra: egli chiama il nostro rpunto 
forma fondamentale di classe (1, n—r), e il nostro piano varietà lineare.— La nostra nomenclatura 
concorda con quella del Jordan, il quale però non considera che multipiani. 
