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Siccome i parametri X,...{.,... sono in numero di 7 + r' ed entrano omogenea- 
mente nelle n equazioni, così: R e R' non avranno in generale alcun punto co- 
mune quando r+r' <mn; avranno un punto comune quando r+r=n+ 1, e 
un k-punto comune quando vr += n + ke. 
Ma in casì particolari potranno R e R' avere un punto comune benchè sia 
r+ur<n+1, 0 un kpunto comune benchè sia r+- 1 <n+k. Perchè Lul 
tima circostanza abbia luogo, dalle n equazioni soprascritte devono potersi ricavare 
le X,...,,... come funzioni lineari omogenee. di & parametri, ossia le n equa- 
zioni devono ridursi a r+r —k(< n); e per conseguenza devono annullarsi tutti 
i determinanti d'ordine r+r —k+1(<n) ricavati dalla matrice composta con 
le coordinate de’punti #,... e y,... individuanti R e R'. Si hanno così (2) 
s ndizioni; le quali poi si riducono a (n+k—r—r)k, poi- 
per —k__1) condizioni; le quali p G +k_-r—-r)k,p 
chè se dalle prime » + — & equazioni si esprimono le X,...,u,...infunzione di & 
parametri e si sostituiscono nelle rimanenti n+k—r—r' equazioni, basterà che ivi siano 
nulli i singoli coefficienti de’ & parametri; onde appunto (n+-k—r—7r)k condizioni. 
Quando si supponga che R e E siano individuati come un (n — #)piano e un 
(n —r')piano mediante le rispettive n—-r e n—» equazioni, allora le condi- 
zioni perchè abbiano un kpunto di comune si esprimono altrimenti. Vi sarà un 
kpunto comune quando le dette n—r+n—w equazioni si riducano a sole n — % 
distinte; e ciò accadrà sempre quando r+r"=n-+-k, ed anche quando, essendo 
r+r<n+k, riescano nulli i determinanti d'ordine n—k+-1 ricavati dalla 
5 x A SPAL: n Marr 
ienti di qu zioni. 2 
matrice composta co’ coefficienti di quelle equazioni. Le (25 i) ( E ES 
condizioni che così si ottengono, equivalgono invero a sole k(n+k—r—r); poi- 
chè, aggruppando le prime n —k equazioni con ciascuna delle rimanenti n+k—rty, 
si hanno n+k—r—r' sistemi, ciascuno di n-—k+1 equazioni, e in ciascuno dei 
quali basterà che siano nulli i & determinanti formati dalle prime n — % colonne di 
coefficienti con ciascuna delle rimanenti &. 
È} notevole intanto che il numero delle condizioni affinchè un rpunto e un 
punto abbiano un Kpunto comune è lo stesso di quello affinchè un (n — r)punto 
e un (n —»)punto abbiano un (n+k—r—+)punto comune. 
Si osservi altresì che quando, essendo r+r<mn-+k, un rpunto Re un 
punto R' hanno un Kpunto comune, allora & punti di questo kpunto, altri r — 
punti di Red altri 7 —% punti di R' individuano un (#4 7 — k)punto, nel quale 
son contenuti R e R'. In altre parole, R e R' considerati come multipiani hanno 
un (n+-k—r—t1')piano comune. 
Come caso particolare della ricerca che precede, possiamo trovare le condizioni 
perchè un dato r'punto R' sia tutto contenuto in un dato r-punto R, essendo 
vr". Dovranno allora annullarsi i determinanti d’ordine r + 1 della matrice delle 
coordinate de’ punti individuanti R e R', ovvero i determinanti d’ordine n— rx + 1 
della matrice de’coefficienti delle equazioni di R e R'; e il numero delle condizioni 
distinte sarà (nr. 
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