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$ V. MULTIPUNTI ASSOCIATI. 
Siano 
EX + oo 0 + E&,Xn=0, EX + ooo ww DI 0000 
le n —r equazioni di un rpunto, e quindi 
(REn+ NE.) Xi A + XE +.) 
l'equazione di un piano qualunque passante per 1’ rpunto. I punti di coordinate 
bad al 1) 
(Sio Gaoocolo (Ei) Eapocg)prso: 
individuano un (n —r)punto, luogo de’ punti di coordinate (M£1+-XE1-+..., Lo); 
ed è chiaro che tra le coordinate di un punto qualunque = di questo (n — r)punto 
e quelle di un punto qualunque X dell’ punto passa la relazione bilineare 
_ 
H 
SX +... + En = 0. 
Dunque ad ogni r-punto dello spazio proposto corrisponde univocamente cia- 
scuno (n —r)punto, e la simmetria dell’ultima equazione prova che tale corrispon- 
denza è reciproca. Diremo associati un rpunto e un (n —?)punto corrispondenti 
secondo la legge ora esposta. 
Siccome poi le (£1,...), (£,...),.... che abbiamo considerate come coordi- 
nate di punti dell’(n —»)punto, sono in pari tempo coefficienti delle equazioni 
de’ piani dell’ rpunto dato; così concludiamo che ad ogni piano dell’ r-punto cor- 
risponde univocamente un punto dell’ (n —r)punio associato, e viceversa. 
Se dunque due multipiani hanno un multipiano comune, i loro multipunti as- 
sociati hanno comune il multipunto associato a quello, e viceversa. Onde segue che 
le condizioni affinchè un rpunto e un r'punto stiano in uno stesso kpunto, ossia 
affinchè un (n —r)piano e un (n —7')piano abbiano un (n — k)piano comune, 
coincidono con le condizioni affinchè l’ (n—-.r)punto e 1’ (n — w)punto associati ad 
essi abbiano un (n — %)punto comune. Così la questione è ricondotta ad una già 
trattata (S II), e possiamo subito affermare quanto segue: 
1. Un r-punto Re un r'punto R' in generale non stanno in uno stesso mul- 
tipunto se v+r >n— i, stanno in uno stesso piano ser+r=n—1,e in 
uno stesso k-punto ser + 7 = k. 
2. Anche quando sia r +" > k, Re R' possono stare in uno stesso k-punto, 
purchè siano nulli i determinanti d'ordine n+k—r—r(<n— 1) della matrice 
de’ coefficienti delle equazioni di R e. R', od anche purchè siano nulli i determinanti 
d’ordine 4-+ 1 della matrice delle coordinate de’punti individuanti i due multipunti; 
e il numero delle condizioni distinte è (r-+-r — k)(n—-K). 
Questo numero vale anche perchè un (n—r)punto e un (n—r)punto stiano 
in un (n+k—r — r')punto. 
Ed è opportuno riflettere che se, essendo r + r' > k, R e R' sono in uno stesso 
kpunto, essi avranno in comune un (r + r'— k)punto; ovvero, considerati come mul- 
tipiani, staranno in uno stesso (n+k—r—r)piano. 
3.:Se un spunto passa per un dato rpunto, ossia contiene questo, 1(nmt—r)- 
punto associato al primo sarà contenuto nell’(n —r)punto associato al secondo, e però 
(S II in fine) pel dato r-punto passano vol-")(") punti. 
