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Inoltre è chiaro che, dato l’ rpunto, son note le x,.;, o meglio i loro mutui 
rapporti; come pure le &,.,, o meglio i loro mutui rapporti. Ora mostriamo come e 
quando viceversa, dati i mutui rapporti delle x,;., ovvero delle &,.., si possa deter- 
minare l’rpunto in corrispondenza. Infatti la (2) del SII prova che, se denotiamo 
con ded..e le permutazioni pari di r-+ 1 assegnati fra gl’indici 1,...,n, le equa- 
zioni del tipo 
DX Cod.e 0 
rappresentano de’ piani, i quali avranno in comune un rpunto quando fra le 2,7... pas- 
sino alcune relazioni. 
Troveremo fra poco tali relazioni per altra via. Possiamo intanto sin da ora 0s- 
servare che, essendo 00(*")" eli rpunti possibili, il numero delle relazioni distinte 
fra le xy... 0 le È. deve ridursi e(7) —(Nn_-rr_ 1. 
Da tutte le precedenti considerazioni apparisce che le (7) quantità 2... SÌ pos- 
sono assumere come coordinate omogenee di un r-punto, quando fra esse passino 
alcune relazioni. Lo stesso vale per le &,.., le quali tuttavia chiameremo coordinate 
omogenee di un (n—r)piano per accennare alla loro composizione. 
In particolare, se l'equazione di un piano è 
EX oc So (ape 0, 
possiamo assumere come coordinate del piano i coefficienti E,,...,E,. 
Ne segue che la precedente equazione rappresenta un piano in coordinate di 
punti quando È1,.. son date e X,,... variabili, e rappresenta un punto în coordi- 
nate di piani quando X,... son date e &;,... variabili; vale a dire nel primo caso 
rappresenta un piano come luogo di punti, e nel secondo un punto come invilupvo 
di piani. E in generale, come n—r equazioni lineari omogenee fra le coordinate di 
un: punto variabile X rappresentano un punto in coordinate di punti (cioè come, 
luogo di punti), così n—r equazioni lineari omogenee fra le coordinate di un 
piano variabile È rappresentano un r-piano in coordinate di piami (cioè come in- 
viluppo di piani). 
$ VII. RELAZIONI FRA LE COORDINATE DI UN MULTIPUNTO 0 DI DUE CHE SI SECHINO. 
Le condizioni affinchè un rpunto R e un wpunto R' abbiano un Kkpunto K 
comune, benchè sia r+-r<n—= k, furon già trovate ($ III); ma ora vogliamo 
esprimerle in funzione delle coordinate di R e R': 
Coig9 000 VA 9 000 
A tale uopo si prendano K— 1 fra gl’indici 1,...,, e sia d..c uno di questi 
gruppi; indi si prendano r —k+ 1 fra’ rimanenti n—k+- 1 indici e siano d..e; e 
da ultimo si prendano 7 —k+ 1 frai rimanenti n — r indici e siano f..g. Sì avrà 
allora la relazione bilineare tipica 
(1) LE aro%an= Dì 
destfeeg 
