— 952 — 
inun punto. Di tali rette ve ne ha 00”72 ($ IV-1), e ciascuna di esse è perpendi- 
colare anche a Ro. In particolare, ogni retta ortogonale a un piano gli è anche per- 
pendicolare. 
Analogamente, un rpunto e un punto che abbiano una oitogonalità /.pla, se 
hanno inoltre un kpunto comune mentre r + < n, si diranno k volte perpendico- 
lari; e se hanno un kpunto comune mentre r+r'<n+k, si diranno perpendi- 
colari (N+-k-—r—r+ 1) volte, oltre ad essere 7 volte ortogonali. 
Cerchiamo ora quante e quali rette sieno simultaneamente perpendicolari a un 
r-punto R e ad unrpunto R', ovvero sechino simultaneamente R, R', l'(n— )punto 
Ro conjugato di R e l’(n—r')punto Ri conjugato di R'; in altre parole sieno per- 
pendicolari a R, R, Ro e Ri. 
Cominciamo dal supporre che due qualunque dei quattro multipunti non abbiano 
punti comuni, ovvero non ne abbian più di quello che la loro definizione comporta; 
vale a dire supponiamo: 1° che quando r + <n R e R' non abbian punti co- 
muni, e che quando r-+r'=n-+ k non abbian più di un /punto comune (*); 
2° che ReR'non presentino alcuna ortogonalità; 3° che quando r+r =>n R e R 
non appartengano a uno stesso multipunto, e quando rv +s" <» non appartengano 
a uno stesso (r + — 1)punto. 
In tali ipotesi, risulta dal $S IV-3 che le rette in questione sono tante quante 
unità contiene il più piccolo fra è quattro numeri r,r,n—-r,n — r'. Questo nw- 
mero è r' quando r>r'er+r<n, ed è r'—k(=n—r) quando r2r' e r+r=n—+k. 
La posizione poi di tali rette offre importanti particolarità: 
1. Ciascuna retta secca R, R', Ri, Ri in punti distinti. 
2. Ciascuna contiene un punto ortogonale a R (in Ro), un punto ortogonale 
a R' (in R;), e così via; e quindi contiene due punti ortogonali a tutto ciò che R 
e R, Ro e Ri, ecc., hanno per avventura di comune; vale a dire che ogni retta per- 
pendicolare a R, R', Ro, R; è perfettamente ortogonale a’ multipunti che due di 
essi possono avere di comune. E per conseguenza seca ciascuno de’ multipunti R, R', 
Ro, Ri in punti ortogonali a’ multipunti che esso può aver in comune con gli altri, 
e giace ne’ multipunti conjugati a codesti multipunti comuni. 
8. Due rette perpendicolari a R, R', Ro, Ri sono tali anche rispetto alle rette 
che uniscono le coppie di punti ove esse secano ciascuno de’ medesimi multipunti. 
4. Quando R e R hanno un Kpunto comune, l’(n—k)punto conjugato di 
questo seca R e R' rispettivamente lungo un (r —)punto e un (2°— k)punto per- 
fettamente ortogonali a quel Kpunto. Le rette perpendicolari a R e R' in punti 
distinti saranno tali anche all’ (» — k)punto e all’(#/—4)punto suddetti, e viceversa (*). 
5. Due rette ammettono due perpendicolari comuni; e si può dimostrare che 
i due punti ove le due perpendicolari secano ciascuna delle due rette sono ortogo- 
nali. Infatti, siano P e P' i punti ove la prima perpendicolare seca le due rette, e 
sia Q il punto ortogonale a P nella prima retta, Q' il punto ortogonale a P' nella 
seconda retta. Nella PP' vi è un punto ortogonale alla prima retta, e quindi a Q; 
(!) In questo caso R, e R, non avranno punti comuni. 
(2) Cfr. S seguente, 1. 
