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e poichè è anche P ortogonale a Q, sarà Q ortogonale a tutta PP'; e lo stesso di- 
casi di Q. Dunque la retta QQ' è perfettamente ortogonale alla PP". Inoltre il punto 
ortogonale a Q nella QQ' è tale anche a P, e quindi alla prima retta PQ; sicchè 
la QQ' è perpendicolare alla PQ. E similmente è perpendicolare alla seconda retta P'Q/. 
6. Dalle proprietà precedenti (3 e 5) consegue che Ze perpendicolari comuni 
a R, R', Ro, Ri sono a due a due perfettamente ortogonali, e che è punti ove 
esse secano ciascuno dei quattro multipunti sono a due @ due ortogonali. 
S XIII. CASI PARTICOLARI. 
Esaminiamo ora quali modificazioni soffrano i risultati ottenuti nel $ precedente 
quando si rimuove una delle ipotesi generali fatte in principio. 
1. Quando, benchè sia r+r <n+ % (od anche r + < n), R e R' hanno 
un kpunto K comune; allora Ro e Ri appartengono all’(n — k)punto Ko conjugato 
a quel kpunto K, e quindi hanno in comune un (n+%—r —?r)punto K1, il quale 
è conjugato all’(r +7 — k)punto K'in cui si troveranno contenuti R e R'. 
Vi saranno delle rette perpendicolari a R e R' in un punto medesimo, cioè in 
un punto di K, e quindi perpendicolari anche a Ro e Ri in un punto comune (di 
K;), e saranno (cfr. $ IV-1) cot+2%-="=2 se l’esponente è positivo, in numero finito 
se è nullo. 
Vi saranno inoltre delle rette perpendicolari a Re R', e quindi a Ro e Ri, in 
punti distinti. Esse, contenendo ciascuna un punto ortogonale a R, uno a R, e così 
via, saranno perfettamente ortogonali al multipunto K (comune a R e R') e a Ki 
(comune a Ro e Ri); e quindi giaceranno in Ko (conjugato di K), e secheranno È 
e R' in punti dell’ (r—k)punto e dell’ (r°— k)punto perfettamente ortogonali a 
K,che Re R' hanno rispettivamente in comune con Ko; e per conseguenza saranno 
perpendicolari a questi (» — k)punto e (1 — k)punto. Viceversa, ogni perpendicolare 
a questi due, giacendo in Ky, è perfettamente ortogonale a K; e quindi è perpen- 
dicolare al [k-+ (r—%)]punto R e al [K+-(Y—%)]punto R. Intanto lt k)- 
punto e l’ (+7 —k)punto non hanno punti comuni, e però ($ prec.) ammettono tante 
perpendicolari comuni quante ne segna il più piccolo fra’ due numeri r—k,r'—k. Dun- 
que: se R e R' hanno un k-punto comune, pure essendo r +1 <n+k, essi am- 
metteranno sempre vr —k perpendicolari comuni in punti distinti, posto r >r. 
Queste rette godono tutte le proprietà di quelle studiate nel $ precedente. 
È superfluo notare che esse secano Ro e Ri in punti dell’ (r' — k)punto e 
dell’(r — k)punto che Ro e Ri hanno in comune con K', e sono perpendicolari 
a’ medesimi. 
2. Quando R e R' sono l volte ortogonali, vale a dire quando R' ha un /punto 
L comune con Ro e R un l'punto L' comune con Ri, posto v—# +=%; allora 
basta applicare le cose esposte nel caso 1°, scambiando R con Ro, per concludere 
che vî saranno tante rette perpendicolari a R e R' in punti non ortogonali fra 
loro quante ne indica il più piccolo fra è due numeri v —l,n—-r—l. Que- 
sto numero sarà r7'—/ se R e R' non si secano, visto che allora r+r" Sn e 
quindi (n—-r)— >=; e sarà V—k—! (ossia n—-r—!) quando R e R' 
