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$ XXI. ANGOLI FRA DUE MULTIPIANI. 
Le cose esposte nel $ XI intorno all’ortogonalità semplice, doppia ,..., perfetta 
fra due multipunti si applicano tutte a’ multipiani, scambiando solo 1’ elemento punto 
con l’elemento piano; ed è perciò superfluo qui svilupparle. 
È intanto da osservare che, se due multipiani hanno una certa ortogonalità, la 
medesima ortogonalità essi presenteranno come multipunti. Infatti se, posto r'<r, 
un 7'piano R' contiene (') un /piano L perfettamente ortogonale a un rpiano R, 
nel qual caso R conterrà un (r—r'+/)piano L' perfettamente ortogonale a R'; al- 
lora R' e il conjugato Ro di R avranno in comune L; ovvero, considerati come un 
(n—r)punto e un rpunto, R' e Ro apparterranno a uno stesso (n—/)punto L; 
quindi avranno in comune un (n—r +r—n—/)punto 0 (r—7 + ()punto, il 
quale sarà perfettamente ortogonale a R considerato come multipunto. E similmente, 
R come multipunto conterrà un /punto perfettamente ortogonale a R' come multipunto. 
Un bipiano, che oltre ad essere semplicemente ortogonale a un multipiano, ab- 
bia con questo un piano in comune, lo diremo perpendicolare al multipiano in quel 
piano comune. 
Anche il contenuto del $$ XII e XIII si applica allora a’ multipiani. Per es. un 
rpiano R e un r'piano R' ammettono. de’ bipiani perpendicolari comuni in piani di- 
stinti; 1 quali bipiani sono perpendicolari anche a Ro e Ri (conjugati di R e R') in 
piani distinti, sono perpendicolari a R e Ro in piani ortogonali, come pure a R' e 
Ri. Questi bipiani sono ortogonali perfettamente a due a due. E son tali altresì 
rispetto a’ multipiani che R, R', Ro, Ri possono aver di comune a due a due; in al- 
tre parole, passano pe’ multipunti che R, R', Ro e Ri possono avere in comune a 
due a due. 
I varî angoli compresi fra ciascuna coppia di piani ne’ quali uno stesso bipiano 
è perpendicolare a R e R', li chiameremo gli angoli dei multipiani R, R'. Essi sono 
i minimi fra gli angoli compresi tra ciascun piano di R e ciascuno di R. 
Del resto, gli angoli fra Re R' come multipiani sono eguali, ciascuno a cia- 
scuna, alle distanze fra R e R' come multipunti. Infatti, sia un certo bipiano per- 
pendicolare a R, R', Ro e Ri ne’ piani II, I, IT e IH; i quali abbiano per punti 
conjugati P,P', Poe P. Poichè II,... appartengono a un bipiano, P,... staranno nella 
retta conjugata del bipiano. E poichè II è un piano di R, P è un punto di Ro e 
quindi anche di II,; e similmente Py è in R e II, P' in Ri e M,P; in Re IT. 
Onde la retta P... è perpendicolare a R, R, Ro, Ri ed a II, IV, ITp, Il, rispettivamente 
in Py, P,, P,P. Dunque l’angolo (III) è eguale alla distanza (PoP1); vale a dire: 
uno degli angoli fra R e R' è eguale a una delle distanze fra R e R'. E viceversa, 
com’ è facile dimostrare. 
È superfluo trascriver le formole che dànno il momento, il comomento,... di 
due multipiani individuati da’ loro piani; basta mutare le coordinate di punti in coor- 
dinate di piani ne’ $$ XVI,... 
(') Vale a dire: se fra i suoi piani ve ne ha c0!-1 costituenti un /piano L ecc. 
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