— 968 — 
S XXII. ALTRE ESPRESSIONI DE’ MOMENTI E DE’ COMOMENTI. 
Ne $$ XVI,... abbiamo supposte date le coordinate de’punti individuanti due 
multipunti, ed abbiamo espressi in funzione di esse i momenti e i comomenti 
de’ diversi ordini. È manifesto intanto che coteste funzioni metriche debbono potersi 
esprimere mediante le coordinate dei due multipunti, quali le definimmo nel $ VI: 
ed è ciò che ci proponiamo ora di fare. 
Siano &1.,,... le coordinate di R e %1.,..., quelle di R'. Se, essendo r4r'<n, 
R e R' non hanno punti comuni, il numeratore della (2) del $ XVI si sviluppa in 
DI UTI, CEZIAI 00) (3 = GA-50ft0) O) 
ove c..d.. e g..h.. indicano combinazioni di classe r+ ' degl’indici 1.. n; e svilup- 
pando î determinanti XY. x,..Yg.., = xy ..Yn. in prodotti di determinanti minori 
di ordini r e 7°, il detto numeratore diviene 
ISO 
ove c..d.. e g..h.. indicano disposizioni pari della classe r-+»' di 1... n, e precisa- 
mente quelle în cui c., e g.. non presentano inversioni e d..,A.. ne presentano il 
meno possibile; o viceversa. E siccome il denominatore della medesima formola, per 
la (6) del $ IX, si riduce a A(#2).A(YY); così, ponendo 
avremo 
(1) (RR) = Sag Le Ya vg Uno 
con la regola enunciata per gl’indici, la quale può ridursi a questo: che c..d.. e g..h.. 
siano disposizioni di 1... n tali, che i primi r (c.. 0 g..) e i rimanenti »'(d.. 0 h..) 
non presentino inversioni. 
Se, essendo r +1 = n, R e R' non hanno punti comuni, allora sì ottiene 
2 
(2) m? (RR')= wa DLo..Ya.. , 
indicando con c.. d.. quelle permutazioni pari di 1... n in cui c.. non presentano in- 
versioni e d.. ne presentano il meno possibile (o viceversa). 
Se, essendo r4+-r' =n+k, Re R hanno un k-punto comune, proveremo 
che si avrà 
(3) m? (RR) = @aX ay ;f..La..0..Yb..a.Cf.g.Yt.h..> 
dove b..c..d..,f..g..h.. sono quelle permutazioni pari di 1... n in cui i gruppi di % 
elementi b.. e f.. non presentano inversioni; mentre gli » — k c.. e g.. non presen- 
tano inversioni, e gli r'—k d.. e h.. ne presentano il meno possibile (0 viceversa). 
Se infine, essendo r+r <m4- k, R e R hanno un k-punto comune, prove- 
remo che sarà 
(4) m?(RR)= © X0.;f..4,.0,.d.(-9 he Lic Y0d Lf.9 Ye 3 
