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ove b..c..d..,f..g.-h.. indicano quelle disposizioni della classe r +" —% in cui i 
primi & indici d.. o f.., ì seguenti r—% c.. 0 g.. e îirimanenti 7 — & d.. o h.. non 
presentano inversioni. 
È chiaro che questa ultima relazione comprende come caso particolare la pre- 
cedente, ed anche le due prime; e che essa è alla sua volta un corollario della se- 
guente, della quale soltanto basterà quindi dare la dimostrazione : 
m(RR')m(rr) 
(5) cm(Rr)cm(Rr) cm (Kk)cm (RR, rr) 
1 
= a} Id di, ‘ 49 1 X VI . 
A(tx). (A7y) b..of..Qb..0..d.of..g..h.Lb..0..Yb..4..Df..g.. fi..h.. 3 
dove r e r° sono un altro rpunto e un altro r'punto aventi in comune un kpunto k, 
X e Y stanno per le coordinate di r e r°, RR' e rr sono i due (r + — k)punti 
composti da R con R' e da r con r, e gl’indici sono regolati come sopra. 
Per dimostrare questa relazione, ricordiamo che il primo membro, in virtù 
della (6) del $ XVII, equivale a 
(6) i SASA re ro yo 
d =las Ara Azz. d = AA i 
posto k= Z..., ecc. Ora il denominatore è eguale a A(EX). AGI), come si voleva 
provare. Quanto al numeratore, essendo il primo determinante lineare in z,..., Z,... 
CANTSE CONO ORTI A ORIO NSRE  O NSYO EZRA isa TAN pro dottomuna 
funzione quadrilineare e omogenea delle coordinate di R, R/, r, r'; e però basta de- 
terminare il coefficiente di un termine qualunque di tale funzione. 
A questo scopo consideriamo gli n punti, 
Pa (100 >) DIO] 
che possiamo chiamare i fondamentali dello spazio proposto di n—1 dimensioni; e 
indicando con b..c..d.., f..g..h. gruppi di k+(t—hbh-+—bh)=r+#—k fra 
gl’indici 1;.., n, supponiamo provvisoriamente 
L= opp AIAR I NRE 
k= EA o P= lifolEtzo ; T= Ie Roio 
Allora delle coordinate di R, R', r, x le sole che non si annullino sono 
Bodo) Udo pg io 
ciascuna delle quali vale 1; sicchè la funzione quadrilineare richiesta si ridurrà al 
coefficiente del termine in cui si trovano moltiplicate coteste quattro coordinate. Ma 
d'altra parte è facile ottenere questo valore ridotto introducendo le fatte ipotesi nel 
numeratore della (6), il quale allora diviene 
== = 
DEE Up... DE Apps. Age. gn = Up. f.. Ob..c..d..af..g..h.. 
Sarà dunque 
O. sf.. W..0..dsfg.h Lhc. Ya pg. Vf 
il termine generale della funzione richiesta. 
