—.103,—> 
Su le correlazioni polari dello spazio 
rispetto alle quali una cubica gobba è polare a sè stessa. 
Memoria del dott. DOMENICO MONTESANO. 
Mi propongo di esaminare in questa Nota un sistema di correlazioni polari dello 
spazio, le quali sì presentano nello studio delle cubiche gobbe, le correlazioni, cioè, 
rispetto a cui a una cubica gobba corrisponde la sviluppabile dei suoi piani osculatori. 
L'eminente geometra Sturm in un suo recente lavoro (') si occupa in generale 
delle collineazioni e correlazioni, che mutano in sè stessa una cubica gobba, ed accenna 
($50 della sua Memoria) che fra tali correlazioni vi è un sistema doppiamente infinito 
di correlazioni polari. 
Ora io in questa Nota studierò direttamente un tale sistema di correlazioni, deter- 
minerò le caratteristiche elementari delle loro superficie fondamentali, e studierò con 
speciale attenzione la superficie luogo dei poli di un piano arbitrario nelle correla- 
zioni del sistema, che è una superficie razionale di 6° ordine, avente per linea doppia 
cuspidale la cubica data, e dotata di una retta tripla e di tre rette doppie. 
1. Data la cubica gobba ©; fra le correlazioni polari, in cui la Cy riguardata 
come assieme dei suoi punti e dei suoi piani osculatori, è polare a sè stessa, sì pre- 
senta da prima la correlazione polare nulla di osceulamento, nella quale ad ogni punto 
della cubica corrisponde il piano osculatore alla cubica in tale punto. 
Nè vi è alcun altra correlazione polare nulla, in cui la cubica sia polare a sè 
stessa, giacchè in ogni correlazione nulla ogni punto ha per corrispondente un piano, 
che passa per esso. 
Di più è evidente che ogni collineazione o correlazione, che muti la cubica Cz 
in sè stessa, muterà in sè stessa anche la correlazione polare di osculamento della 
CRI e quindi ogni correlazione polare ZZ, in cui la cubica sia polare a sè stessa, 
sarà involutoria con detta correlazione H di osculamento (?), e quindi la corrispon- 
denza (4-H), prodotta dalle correlazioni 77, H, sarà una collineazione iperboloidica 
armonica, ed in essa la cubica gobba sarà coniugata a sè stessa, essendo tale rispetto 
alle correlazioni componenti K,H. 
Ora se d1,d, sono gli assi della (Z2-H), e se P, P' sono due punti della C3 con- 
lugati in essa, la PP' si appoggierà alle 4,, d, in due punti, che risulteranno separati 
armonicamente da i punti P, P', e che perciò risulteranno corzugati (8) rispetto alla 
(1) Math. Annalen Bd. XXVI. 
(£) V. la mia Nota Sw certi gruppi di superficie di secondo grado. Annali di Matematica. 
Tomo XIV pag. 131. 
(3) Cremona, Journ. fi» Math. Bd. 58, n. 14. — Reye, Geometria di posizione Lezione 142. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MeMmorIE — Ser. 48, Vol. II. 14 
