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cubica, onde delle rette d,, 4» l'una contiene i punti coniugati ai punti dell'altra ri- 
spetto alla cubica, e quindi esse rette sono due raggi di oseulamento (*) coniugati 
rispetto alla cubica. 
Viceversa è evidente che se 4,, 4 sono due raggi di osculamento della cubica 
coniugati rispetto ad essa, la cubica sarà coniugata a sè stessa nella collineazione 
iperboloidica armonica (41-03) =K, onde risulterà polare a sè stessa anche nella cor- 
relazione (K-H), che si ottiene combinando la collineazione K con la correlazione di 
osculamento H. E siccome le K,H sono corrispondenze fra loro involutorie, giacchè 
gli assi della prima sono raggi uniti della seconda, perciò detta correlazione (K-H)= 27 
sarà polare ; e quindi possiamo affermare che: 
Combinando la correlazione polare di osculamento di una cu- 
bica gobba con le collineazioni iperboloidiche armoniche, che 
hanno per assi le coppie di raggi di osculamento coniugati ri- 
spetto alla cubica, si ha il completo sistema delle correlazioni po- 
lari, rispetto alle quali la cubica gobba è polare a sè stessa. 
Ne sussegue che il sistema di tali correlazioni polari è doppiamente infinito. 
Una qualsiasi di esse, la (K-H), ha per superficie fondamentale l’iperboloide 
luogo dei raggi uniti della correlazione di osculamento H, che si appoggiano a gli 
assi d,,d, della collineazione K, a cui essa correlazione (K-H) è dovuta. Tale iper- 
boloide conterrà perciò le tangenti alla cubica nei punti di appoggio delle d,, da, e 
quindi in questi due punti osculerà la cubica. 
2. Dunque lo studio delle correlazioni polari, in cui la cubica data è polare a sè stessa, 
può farsi dipendere dallo studio delle collineazioni armoniche, che mutano la cubica 
in sè stessa. È ciò che noi faremo. 
Queste collineazioni armoniche saranno da noi costantemente indicate col simbolo K. 
e con ® ne sarà designato il sistema. 
Ogni collineazione K determina sulla cubica gobba un’ involuzione di punti, di 
cui ogni coppia .è costituita di punti coniugati nella K. Data viceversa un’ involu- 
zione di punti, I, su la cubica, resta determinata la collineazione K, che dà origine 
ad essa. Gli assi della K sono i due raggi di osculamento: d,, ds, fra loro coniugati, 
che si appoggiano alla cubica nei punti doppî Di, D:, della I. Ognuno di tali raggi 
incontra la tangente nel punto di appoggio dell'altro alla cubica, onde essi sono com- 
pletamente determinati dai punti D,, Ds, dati i quali resta perciò determinata la K. 
Noi potremo quindi designare la K anche col simbolo (D;-D.), e ne potremo dedurre 
che il sistema X delle collineazioni K è razionale, e quindi rappresentabile su i punti 
di un piano; rappresentazione, che sarà da noi data in seguito. 
Ora importa notare che per mezzo della sola involuzione I noi possiamo di un 
qualsiasi punto P dello spazio costruire il coniugato P' nella collineazione K, a cui 
è dovuta la I. 
(1) Ritenendo la designazione data dai geometri Schuhert e Schroòter chiameremo raggio di oscu- 
lamento della cubica ogni raggio, che passi per un punto della cubica e giaccia nel piano osculatore 
alla cubica in tale punto. Detti raggi di osculamento costituiscono una congruenza di 3° grado, con- 
tenuta nel complesso lineare dei raggi wniti della correlazione nulla d’osculamento. 
