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Chè se 77 è il piano polare di P nella correlazione nulla d'osculamento della C3, 
e se A, B,C sono i punti di incontro di 77 con la cubica, e A", B', C' ne sono i coniu- 
gati nella I, il punto P' sarà il polo del piano A” B'C' nella correlazione di osculamento. 
Notiamo ancora che due raggi d'osculamento della cubica fra loro coniugati sono 
con la cubica su di una stessa superficie di secondo grado, sicchè ogni corda A A’ della 
cubica, che incontra un raggio di osculamento d,, incontra anche il suo coniugato da, 
e i due punti d'appoggio D,, Ds dei due raggi separano armonicamente i punti di 
appoggio A.A" della corda A A”. 
Da questo teorema segue l’altro che: 
Se PA, PB, PC sono i tre raggi di osculamento della cubica ‘passanti per uno 
stesso punto P (e quindi situati nello stesso piano 77, che corrisponde a P nella cor- 
relazione di osculamento), e se P'A',P'B', P'C' ne sono i raggi coniugati (pas- 
santi pel punto P' coniugato a P rispetto alla cubica e situati nel piano 7 coniugato 
a 7), i punti A”, B', C' sono coniugati armonicamente ai punti A,B,C rispetto alle 
coppie BC, CA, AB rispettivamente (). 
Infatti la corda AB della cubica incontrando il raggio di osculamento PC, se- 
gherà anche il suo coniugato P'C' e le coppie CC”, AB saranno armoniche; e ana- 
logamente saranno armoniche le coppie AA', BC e le coppie BB', CA. 
Di più se P,, P. sono i punti di appoggio della corda PP' con la cubica, la 
coppia P, P, sarà armonica con ciascuna delle tre coppie AA', BB”, CC”. 
3. Se su la cubica Cz si considerano due involuzioni di punti I,,I, fra loro armo- 
niche, tali cioè che a due a due le coppie di punti coniugati nell’una involuzione 
siano coniugate nell'altra involuzione, anche le due collineazioni K del sistema X deter- 
minate da esse, godono la stessa proprietà, risultano cioè involutorie, sicchè i loro 
assi sono su di uno stesso sistema rigato, e sì separano armonicamente. 
E ad una terna di involuzioni di punti della C3, a due a due fra loro armoniche, 
corrisponde una terna di collineazioni K del sistema > a due a due fra loro invo- 
lutorie, di cui le tre coppie di assi appartengono ad uno stesso sistema rigato, e a due 
a due sono fra loro armoniche. 
Ogni retta 7 dello spazio è direttrice di uno di questi sistemi rigati; cioe: 
ogni retta dello spazio è raggio unito di tre collineazioni K del si- 
stema 3, a due a due fra loro involutorie. 
Siano infatti 4,0, c,d le tangenti della cubica C3, che si appoggiano alla 7 e 
quindi anche alla sua coniugata 7" nella correlazione H d'osculamento della. C3. 
Se A,B,C,D sono i punti di contatto di tali tangenti, nelle collineazioni K. do- 
vute alle tre involuzioni di punti determinate su la Cz dalle coppie AB, CD; AC, BD; 
AD, BC (involuzioni, che sono a due a due fra loro armoniche) il gruppo delle quattro 
tangenti 4,d,c,d è coniugato a sè stesso, onde lo sarà del pari la coppia delle rette 
?,1"; sicchè in ognuna di queste tre collineazioni o ciascuna delle 7,7 è coniugata 
a sè stessa, o esse sono coniugate fra di loro. Ma questa seconda ipotesi è da esclu- 
dersi, perchè se in una delle tre collineazioni considerate, che avesse per assì i raggi 
di osculamento d,, ds, fossero coniugate le 7,7, le quattro rette d,, d,,7,7" apparter- 
(1) Cremona, Nouv. Annales de Math. $ 5. — Staudt. Geometriegder Lage n. 499, 
